《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

4. 如图,在△ABC中,AC = BC,∠C = 90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB = 6 cm,求△DEB的周长.

答案： 解:
∵AD平分∠CAB,且∠C=90°,DE⊥AB,
∴CD=DE.在Rt△ACD和Rt△AED 中，$\left\{\begin{array}{l}AD=AD,\\ CD=DE,\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC =AE.
∵AC=BC,∠C=90°,
∴∠B=45°.
∵DE⊥AB,
∴∠BDE=∠B=45°,
∴BE=DE.
∵CD=DE,
∴CD=DE =BE,
∴△BDE的周长为BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=6cm.

1. 如图,点P为∠ABC角平分线上的一点,D点和E点分别在AB和BC上,且PD = PE,试探究∠BDP与∠BEP的关系,并给予证明.

答案： 证明:∠BDP+∠BEP=180°.理由:过点P作PF⊥BA,PG⊥BC,垂足为F,G,
∵BP平分∠ABC,PF⊥AB,PG⊥BC,
∴PF=PG,∠PFD=∠PGE=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,PD=PE,PF=PG,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE,
∴∠PDF=∠PEG.
∵∠BDP+∠PDF=180°,
∴∠BDP+∠BEP=180°.

2. 已知OM是∠AOB的平分线,P是射线OM上一点,点C,D分别在射线OA,OB上,连接PC,PD.
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是PC=PD；
(2)如图②,点C,D分别在射线OA,OB上运动,且∠AOB = 90°,当∠PCO + ∠PDO = 180°时,PC与PD在(1)问中的数量关系还成立吗？请说明理由.

答案：
(1)PC=PD
(2)成立，理由如下:如图，过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OC于F,
∴∠PFC=∠PED=90°,
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PF=PE,
∵∠PCO+∠PDO=180°,∠PDO+∠PDE=180°,
∴∠PCO=∠PDE,在△PFC和△PED中$\left\{\begin{array}{l}∠PFC=∠PED\\∠PCF=∠PDE\\ PF=PE\end{array}\right.$
∴△PFC≌△PED(AAS),
∴PC=PD.