《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB ＞ AC $,按以下步骤作图：分别以点 $ B $ 和点 $ C $ 为圆心,大于 $ BC $ 一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点 $ M $ 和点 $ N $,作直线 $ MN $ 交 $ AB $ 于点 $ D $,连接 $ CD $. 若 $ AB = 6 $,$ AC = 4 $,则 $ \triangle ACD $ 的周长为(C)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： C

4. 如图 1,已知三角形纸片 $ ABC $,$ \angle C = 65^{\circ} $,$ \angle A = 50^{\circ} $,将其折叠,如图 2,使点 $ A $ 与点 $ B $ 重合,折痕为 $ ED $,点 $ E $ 与点 $ D $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,则 $ \angle DBC = $15°.

答案： $15°$

5. 将矩形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,使点 $ A $ 与点 $ C $ 重合,点 $ D $ 落在点 $ G $ 处,$ EF $ 为折痕.
(1) 求证：$ \triangle FGC \cong \triangle EBC $；
(2) 若 $ AB = 8 $,$ AD = 4 $,求四边形 $ ECGF $(阴影部分)的面积.

答案： 证明:
(1)
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$AD=BC$,$\angle D=\angle B=90°$.根据折叠的性质，有 $GC=AD$,$\angle G=\angle D$,
∴$GC=BC$,$\angle G=\angle B$.又$\angle GCF+\angle ECF=90°$,$\angle BCE+\angle ECF=90°$,
∴$\angle GCF=\angle BCE$,
∴$\triangle FGC\cong\triangle EBC$.解:
(2)由
(1)知,四边形 $ECGF$ 的面积=四边形 $EADF$ 的面积=四边形 $EBCF$ 的面积=矩形 $ABCD$ 的面积的一半,
∵$AB=8$,$AD=4$,
∴矩形 $ABCD$ 的面积$=8×4=32$,
∴阴影部分的面积为 16.

1. 自由创作一个轴对称图形.

答案：

2. 如图,已知 $ \triangle ABC $.
(1) 求作 $ \triangle ABC $ 的中线 $ AD $；(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2) 在 (1) 的图形中,分别过点 $ B $,$ C $ 作 $ AD $ 及其延长线的垂线段 $ BE $,$ CF $. 垂足分别为点 $ E $,$ F $. 补全图形,判断线段 $ BE $ 与 $ CF $ 的数量关系,并证明你的结论.

答案：
解:
(1)如图所示:　　　　　　　　　
(2)$BE=CF$,理由:
∵$BE\perp AD$于$E$,$CF\perp AD$于$F$,
∴$\angle BED=\angle CFD=90°$.
∵$AD$是$\triangle ABC$的中线,
∴$BD=DC$,在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中,
∵$\angle BED=\angle CFD$,$\angle BDE=\angle CDF$,$BD=CD$,
∴$\triangle BED\cong\triangle CFD(AAS)$,
∴$BE=CF$.