《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

2. 如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 中线,$DE \perp AB$,$DF \perp AC$,且 $AE = AF$,求证：$DE = DF$,$\angle B = \angle C$。

答案： 证明：
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°.在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD,AE=AF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴DE=DF.
∵D是BC中点，
∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD,DE=DF，
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF，
∴∠B=∠C.

3. 如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高,$E$ 为 $AC$ 上一点,$BE$ 交 $AD$ 于 $F$,且有 $BF = AC$,$FD = CD$,试说明 $BE$ 与 $AC$ 的位置关系。

答案： 解：BE⊥AC.理由：
∵AD⊥BC，
∴∠ABD=∠ADC=90°.在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC,FD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴∠DBF=∠DAC.
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠BDF=∠AEF=90°，
∴BE⊥AC.

1. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = CB$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$F$ 为 $AB$ 延长线上一点,点 $E$ 在 $BC$ 上,且 $AE = CF$。
(1) 求证：$Rt\triangle ABE \cong Rt\triangle CBF$；
(2) 若 $\angle CAE = 30^{\circ}$,求 $\angle ACF$ 的度数。

答案：
(1)证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF,AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)解：
∵AB=CB,∠ABC=90°，则易证∠ACB=∠BAC=45°.
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF.
∵∠BAC=45°,∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+15°=60°.

2. 在 $\triangle ABC$ 中,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$AC$ 上的点,$AD$ 与 $EF$ 相交于点 $O$,① $AD$ 平分 $\angle BAC$；② $DE \perp AB$,$DF \perp AC$；③ $AD \perp EF$。以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可得 ①② $\Rightarrow$ ③；①③ $\Rightarrow$ ②。
(1) 试判断上述命题是否正确(直接作答)；
(2) 请证明你认为正确的命题。

答案：
(1)①②⇒③正确，①③⇒②不正确.
(2)
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(AAS)，
∴AE=AF.在△AEO和△AFO中，AE=AF,∠EAD=∠FAD,AO=AO，
∴△AEO≌△AFO，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∴AD⊥EF.