《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

8. 当$n$为偶数时,$(x - y)^{m} \cdot (y - x)^{n}$与$(x - y)^{m + n}$的关系是(A)
A.相等
B.互为相反数
C.不相等
D.以上说法都不对

答案： A

9. 计算：
(1)$(-a) \cdot (-a)^{3} \cdot (-a)^{4} \cdot (-a)^{8}$；
(2)$(a - b)^{n} \cdot (a - b)^{n - 1}$；
(3)$(p - q)^{5} \cdot (q - p)^{2}$。

答案：
(1)解:原式$=(-a)^{1+3+4+8}$
$=(-a)^{16}$
$=a^{16}$
(2)解:原式$=(a-b)^{n+(n-1)}$
$=(a-b)^{2n-1}$
(3)解:原式$=(p-q)^{5}\cdot [-(p-q)]^{2}$
$=(p-q)^{5}\cdot (p-q)^{2}$
$=(p-q)^{5+2}$
$=(p-q)^{7}$

10. 计算：
(1)若$a^{5} \cdot a^{m} = a^{10} = a^{n} \cdot a^{8}$,求$m$,$n$的值；
(2)若$a^{m} = 5$,$a^{n} = 6$,求$a^{m + n}$的值。

答案：
(1)解:$\because a^{5}\cdot a^{m}=a^{5+m}=a^{10}$,
$\therefore 5+m=10$,
$\therefore m=5$.同理$n=2$.
(2)解:$\because a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$,
$\therefore a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}=5×6=30$.

11. 已知$x^{m - n} \cdot x^{2m + 1} = x^{11}$,$y^{m - 1} \cdot y^{4 - n} = y^{2}$,求$m$,$n$。

答案： 解:$\because x^{m-n}\cdot x^{2m+1}=x^{3m-n+1}=x^{11}$,
$y^{m-1}y^{4-n}=y^{m-n+3}=y^{2}$,
$\therefore 3m-n+1=11,m-n+3=2$.
得$m=5.5,n=6.5$.

1. 已知$a^{x} = 5$,$a^{x + y} = 25$,求$a^{x} + a^{y}$的值。

答案： 解:$\because a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}=25$,
又$\because a^{x}=5$,
$\therefore 5\cdot a^{y}=25$,
$\therefore a^{y}=5$,
$\therefore a^{x}+a^{y}=5+5=10$.

2. 已知$2^{x + 4} - 2^{x} \cdot 2 = 112$,求$x$的值。

答案： 解:由$2^{x+4}-2^{x}\cdot 2=2^{x}\cdot 2^{4}-2^{x}\cdot 2=2^{x}(2^{4}-2)=14\cdot 2^{x}=112$.得$2^{x}=\frac {112}{14}=8=2^{3}$,
$\therefore x=3$.

3. 已知$2^{a} = 3$,$2^{b} = 5$,$2^{c} = 30$,求$a$,$b$,$c$之间的数量关系。

答案： 解:$\because 2^{a}=3,2^{b}=5,2^{c}=30$,
$\therefore 2^{a}\cdot 2^{b}=2^{a+b}=15,2×2^{a}×2^{b}=30=2^{c}$,即$2^{1+a+b}=2^{c}$,
$\therefore a+b+1=c$.