《2025年学习之友八年级数学上册人教版》

9. 已知$a^{2n}= 3$,求$(a^{3n})^{2}\cdot (a^{2})^{2n}$的值.

答案： 解:$(a^{3n})^{2}\cdot (a^{2})^{2n}$
$=a^{6n}\cdot a^{4n}$
$=(a^{2n})^{3}\cdot (a^{2n})^{2}$
$=(a^{2n})^{3+2}$
$=(a^{2n})^{5}$,
当$a^{2n}=3$时,原式$=3^{5}=243.$

10. 求代数式的值：$(-x)^{3}\cdot (x^{2})^{5}\cdot x-(-x^{4})^{2}\cdot x^{6}$,其中$x= -1$.

答案： 解:原式$=-x^{3}\cdot x^{2×5}\cdot x-(x^{4×2}\cdot x^{6})$
$=-x^{3+10+1}-x^{8+6}$
$=-x^{14}-x^{14}$
$=-2x^{14}$
当$x=-1$时,原式$=-2×(-1)^{14}=-2$

11. 若$2^{m}\cdot 2^{n}= 2^{5}$,$(x^{m})^{3}= x^{9}$,求$m^{n}$的值.

答案： 解:由$2^{m}\cdot 2^{n}=2^{5},(x^{m})^{3}=x^{9}$,得$2^{m+n}=2^{5},x^{3m}=x^{9}$,
$\therefore m+n=5,3m=9$,
$\therefore m=3,n=2,m^{n}=3^{2}=9.$

1. 已知$2x+5y-3= 0$,求$4^{x}\cdot 32^{y}$的值.

答案： 解:$4^{x}\cdot 32^{y}=(2^{2})^{x}\cdot (2^{5})^{y}$
$=2^{2x}\cdot 2^{5y}$
$=2^{2x+5y}$
由$2x+5y-3=0$得$2x+5y=3$
$\therefore$原式$=2^{3}$
$=8$

2. 阅读下列材料,并补充完整,然后解答问题,试比较$3^{55}$,$4^{44}$,$5^{33}$的大小.
解：$3^{55}= 3^{11× 5}= (3^{5})^{11}= $(243)$^{11}$.
同理：$4^{44}= $(256)$^{11}$,$5^{33}= $(125)$^{11}$.
一般当底数大于$1$,指数相同时,底数越大,幂就越大,故$5^{33}$＜$3^{55}$＜$4^{44}$.
问题：(1)完成上面的填空；
(2)将$3^{55}写成(3^{5})^{11}$是利用了幂的乘方的性质；
(3)请利用上述解题思路比较$2^{125}$,$3^{100}$,$4^{75}$的大小.
解:$\because 2^{125}=(2^{5})^{25},3^{100}=(3^{4})^{25},4^{75}=(4^{3})^{25}$,
又$\because 2^{5}=32,3^{4}=81,4^{3}=64$,
$\therefore 2^{125}＜4^{75}＜3^{100}.$

答案：
(1)243 256 125 $5^{33}$ $3^{55}$ $4^{44}$
(2)幂的乘方的性质
(3)解:$\because 2^{125}=(2^{5})^{25},3^{100}=(3^{4})^{25},4^{75}=(4^{3})^{25}$,
又$\because 2^{5}=32,3^{4}=81,4^{3}=64$,
$\therefore 2^{125}＜4^{75}＜3^{100}.$

3. 探究：
(1)若$n$为自然数,试确定$3^{4n}-1$的末位数字；
(2)若$|a-2b|+(b-2)^{2}= 0$,求$a^{5}b^{10}$的值.

答案：
(1)解:3 的幂的末位数规律:$3^{1}=3,3^{2}=9,3^{3}=27,3^{4}=81,3^{7}=2187,3^{8}=6561,...$
显示$3^{4n}$的末位数字是1,$3^{4n}-1$的末位数字是0.
(2)$\because |a-2b|≥0,(b-2)^{2}≥0$,且$|a-2b|+(b-2)^{2}=0$,
$\therefore |a-2b|=0,(b-2)^{2}=0$,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a-2b=0,\\ b-2=0,\end{array}\right. $
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a=4,\\ b=2,\end{array}\right. $
$\therefore a^{5}b^{10}=4^{5}×2^{10}=2^{20}.$