《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

2. 在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= 3$,$BC= 4$,若以$A$,$B$,$C$为其中的三个顶点组成一个平行四边形,求这个平行四边形的周长。

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
情况一：以$AC$，$BC$为邻边，平行四边形周长为$2(AC+BC)=2×(3+4)=14$；
情况二：以$AC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(AC+AB)=2×(3+5)=16$；
情况三：以$BC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(BC+AB)=2×(4+5)=18$。
故这个平行四边形的周长为14或16或18。

3. 如图,$AB= CD$,且$∠DCA= ∠BAC$,四边形$ABCD$是平行四边形吗？请用不同的方法说明。(至少三种)

答案： 【解析】：本题考查平行四边形的判定定理。已知条件为$AB = CD$和$\angle DCA=\angle BAC$，可通过证明一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等方法来判定四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】：四边形$ABCD$是平行四边形，理由如下：
方法一：
证明：$\because \angle DCA = \angle BAC$
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）
又$\because AB = CD$
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
方法二：
证明：在$\triangle ABC$和$\triangle CDA$中
$\because AB = CD$，$\angle BAC=\angle DCA$，$AC = CA$（公共边）
$\therefore \triangle ABC≌\triangle CDA(SAS)$
$\therefore AD = BC$
又$\because AB = CD$
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
方法三：
证明：由方法二知$\triangle ABC≌\triangle CDA$
$\therefore \angle ACB=\angle CAD$
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行）
又由方法一知$AB// CD$
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

4. 如图,平行四边形$ABCD$中,点$E是边AD$的中点,连接$CE$并延长,交$BA的延长线于点F$,连接$AC$,$DF$。求证：四边形$ACDF$是平行四边形。

答案： 【解析】：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$，则$\angle FAE=\angle CDE$。
又因为点$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle FAE$和$\triangle CDE$中，$\angle FAE=\angle CDE$，$AE = DE$，$\angle FEA=\angle CED$（对顶角相等），
所以$\triangle FAE\cong\triangle CDE$（ASA），因此$FA = CD$。
又因为$AB// CD$，即$FA// CD$，
所以四边形$ACDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】：四边形$ACDF$是平行四边形。