《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

运用数学技巧解物理电学中有关并联电阻问题
数学是学习物理的重要工具，在解答物理习题中，若能观察物理关系式中数量关系的特点，巧妙地运用数学方法求解，则可加快求解速度，也可使所学的数学知识得以应用，可谓一举两得。
背景知识：两个电阻 $ R _ { 1 } $ 与 $ R _ { 2 } $ 并联时，总阻值 $ R $ 与 $ R _ { 1 } $，$ R _ { 2 } $ 存在关系，即 $ \frac { 1 } { R } = \frac { 1 } { R _ { 1 } } + \frac { 1 } { R _ { 2 } } $。
例如：有三个电阻，将 $ R _ { 1 } $ 与 $ R _ { 2 } $ 并联时，总阻值为 $ 4 \Omega $，将 $ R _ { 2 } $ 与 $ R _ { 3 } $ 并联时，总阻值为 $ 8 \Omega $，将 $ R _ { 1 } $ 与 $ R _ { 3 } $ 并联时，总阻值为 $ 2 \Omega $，则 $ R _ { 1 } $，$ R _ { 2 } $，$ R _ { 3 } $ 并联时，总电阻为多少？
你能很快地算出来吗？

答案： 【解析】：本题考查了分式方程的应用，涉及并联电阻的计算公式。首先根据题目中给出的三个电阻两两并联的总阻值，列出关于$R_1$、$R_2$、$R_3$的分式方程，通过设未知数将分式方程转化为整式方程组，求解出各电阻倒数之和，进而求出三个电阻并联的总电阻。
设$\frac{1}{R_1}=a$，$\frac{1}{R_2}=b$，$\frac{1}{R_3}=c$，根据并联电阻公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$可得：
当$R_1$与$R_2$并联时，$\frac{1}{4}=a + b$；
当$R_2$与$R_3$并联时，$\frac{1}{8}=b + c$；
当$R_1$与$R_3$并联时，$\frac{1}{2}=a + c$。
将这三个方程相加可得：$(a + b)+(b + c)+(a + c)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}$，即$2(a + b + c)=\frac{2}{8}+\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=\frac{7}{8}$，则$a + b + c=\frac{7}{16}$。
三个电阻并联时总电阻$R$满足$\frac{1}{R}=a + b + c=\frac{7}{16}$，所以$R=\frac{16}{7}\Omega$。
【答案】：$\frac{16}{7}\Omega$