《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

2. 如图,已知$PA$,$PC分别为\triangle ABC的外角\angle MAC和\angle NCA$的平分线,它们相交于点$P$,求证：点$P在\angle MBN$的平分线上.

答案： 证明:过点$P$作$PE⊥AC$于点$E$,
$PD⊥BM$于点$D$,$PF⊥BN$于点$F$.
$\because AP$平分$∠MAC$,
$PD⊥BM$,$PE⊥AC$,
$\therefore PD=PE$.
同理得$PE=PF$.
$\therefore PD=PF$.
又$\because PD⊥BM$,$PF⊥BN$,
$\therefore$点$P$在$∠MBN$的平分线上.

3. 如图,$BD= DC$,$ED\perp BC交\angle BAC的平分线于点E$,过点$E作EM\perp AB于点M$,$EN\perp AC$,交$AC的延长线于点N$,求证：$BM= CN$.

答案： 证明:连接$BE$,$EC$.
$\because BD=DC$,$ED⊥BC$,$\therefore BE=EC$.
又$\because AE$是$∠BAC$的平分线,
$EM⊥AB$,$EN⊥AC$,
$\therefore EM=EN$.
$\therefore Rt\triangle BME≌Rt\triangle CNE(HL)$.
$\therefore BM=CN$.