《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

2. 阅读下列因式分解的过程,再回答下列问题。
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2}$
$= (1 + x)[1 + x + x(x + 1)]$
$= (1 + x)^{2}(1 + x)$
$= (1 + x)^{3}$。
(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次。
(2)若分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{2019}$,则需应用上述方法2019次,结果是$(1 + x)^{2020}$。
(3)分解因式：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{n}$（$n$为正整数）。$(1 + x)^{n + 1}$

答案： 【解析】：
(1)观察题目中因式分解的过程，从第一步$(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]$可以看出，是把公因式$(1 + x)$提取出来了，所以这种方法是提公因式法。第一次提取公因式$(1 + x)$后得到$(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]$，然后在中括号里的式子$1 + x + x(x + 1)$又可以提取公因式$(1 + x)$，得到$(1 + x)(1 + x)$，所以一共应用了2次提公因式法。
(2)对于式子$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{2019}$，分析次数规律。原式中最高次项是$x(x + 1)^{2019}$，指数为2019。从前面的例子看，有2次提公因式得到$(1 + x)^{3}$，这里指数3比项数少1（项数是3项：$1 + x$，$x(x + 1)$，$x(x + 1)^2$）。这里的项数是2020项（从0次到2019次，共2020项），所以需要提公因式的次数应该和最高指数相同，即2019次，结果的指数应该是最高指数加1，也就是$2019 + 1 = 2020$，所以结果是$(1 + x)^{2020}$。
(3)对于一般形式$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{n}$（$n$为正整数），按照前面的规律，每一次提公因式$(1 + x)$，指数就会增加1。原式共有$n + 1$项（从0次到$n$次），需要提公因式$n$次，结果的指数为$n + 1$，所以分解因式的结果是$(1 + x)^{n + 1}$。
【答案】：
(1)提公因式法；2
(2)2019；$(1 + x)^{2020}$
(3)$(1 + x)^{n + 1}$

3. 下面是某同学对多项式$(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$进行因式分解的过程。
解：设$x^{2} - 4x = y$,则
原式$= (y + 2)(y + 6) + 4$
$= y^{2} + 8y + 16$
$= (y + 4)^{2}$
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$。
请回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ (不彻底)。若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果：$(x-2)^{4}$。
(2)请你模仿上述方法尝试对多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$进行因式分解。
解：设$x^{2}-2x=y$，
则原式$=y(y+2)+1$
$=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}$
$=(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4}$

答案：
(1)不彻底 $ (x-2)^{4} $
(2)设 $ x^{2}-2x=y $，
则原式 $ =y(y+2)+1 $
$ =y^{2}+2y+1=(y+1)^{2} $
$ =(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4} $