《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

实际测试表明质量为 1 千克的干衣物,用水洗涤拧干,湿重为 2 千克. 今用溶质质量分数为$1\%$(提示：溶质质量分数$=\frac{溶质质量}{溶液质量}× 100\%$,洗衣粉溶液中溶质为洗衣粉,溶液为洗衣粉和水)的洗衣粉溶液洗涤$0.5$千克的干衣物,然后用总质量为 20 千克的清水分两次漂洗. 假设在洗涤和漂洗的过程中,残留在衣物上的溶液的溶质质量分数和它所在的溶液的溶质质量分数相等,且每次洗涤、漂洗后都需拧干再进入下一道操作. 问：怎样分配这 20 千克清水的用量,可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液的溶质质量分数最小？残留在衣物上的洗衣粉有多少毫克？(保留三位有效数字)

答案： 【解析】：设第一次漂洗用$x$千克清水，第二次漂洗用$(20 - x)$千克清水。
洗涤阶段：
干衣物质量$0.5$千克，洗涤后湿重按比例计算：$1$千克干衣物湿重$2$千克，故$0.5$千克干衣物湿重$1$千克（含干衣物$0.5$千克，残留溶液$0.5$千克）。
设洗涤时使用的$1\%$洗衣粉溶液质量为$m$，但题目未明确洗涤溶液用量，实际洗涤后拧干，衣物残留溶液$0.5$千克，且残留溶液溶质质量分数与洗涤液相同（$1\%$），因此洗涤后残留在衣物上的洗衣粉质量为：
$0.5$千克（残留溶液）$× 1\% = 0.005$千克（即$5$克）。
第一次漂洗：
加入$x$千克清水，混合后溶液总质量为$(x + 0.5)$千克（残留溶液$0.5$千克 + 清水$x$千克）。
溶质质量分数为$\frac{0.005}{x + 0.5}$，拧干后残留溶液仍为$0.5$千克，故残留洗衣粉质量为：
$0.5 × \frac{0.005}{x + 0.5} = \frac{0.0025}{x + 0.5}$千克。
第二次漂洗：
加入$(20 - x)$千克清水，混合后溶液总质量为$(20 - x + 0.5)$千克。
溶质质量分数为$\frac{\frac{0.0025}{x + 0.5}}{20 - x + 0.5} = \frac{0.0025}{(x + 0.5)(20.5 - x)}$，拧干后残留洗衣粉质量为：
$m(x) = 0.5 × \frac{0.0025}{(x + 0.5)(20.5 - x)} = \frac{0.00125}{(x + 0.5)(20.5 - x)}$千克。
求最小值：
分母$(x + 0.5)(20.5 - x) = -x^2 + 20x + 10.25$，为二次函数，开口向下，对称轴$x = 10$时取最大值。
分母最大时，$m(x)$最小，故$x = 10$千克（第一次漂洗$10$千克，第二次漂洗$10$千克）。
代入$x = 10$，残留洗衣粉质量为：
$m(10) = \frac{0.00125}{(10 + 0.5)(20.5 - 10)} = \frac{0.00125}{10.5 × 10.5} \approx 0.0000113$千克$= 11.3$毫克。
【答案】：两次各用10千克清水，残留洗衣粉11.3毫克。
11.3