《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

7. 如图,已知$∠B= ∠ACD= 90^{\circ },AD= 13,CD= 12,BC= 3$,则 AB 的长为____4.

答案： 7. 4

8. 三角形的周长为 12,且三边 a,b,c 有如下关系:$a= b+1,b= c+1$.a,b,c 的长分别为5,4,3.

答案： 8. $ 5,4,3 $

1. 已知$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠B= 15^{\circ }$,AB 的垂直平分线分别与 BC,AB 交于 M,N 两点,求证:$BM= 2AC$.

答案： 1. 证明：连接 $ AM $.
$ \because M $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上，
$ \therefore AM = BM $.
$ \therefore \angle MAB = \angle B = 15^{\circ} $.
$ \therefore \angle AMC = \angle B + \angle MAB = 30^{\circ} $.
又 $ \because \angle C = 90^{\circ} $，$ \therefore BM = AM = 2AC $.

2. 已知 OE,OF 分别是 AB,AC 的垂直平分线,$∠OBC,∠OCB$的平分线相交于点 I,求证:$OI⊥BC$.

答案： 2. 证明：连接 $ OA $，过点 $ I $ 作 $ IM \perp OB $ 于点 $ M $，作 $ IN \perp OC $ 于点 $ N $，作 $ IG \perp BC $ 于点 $ G $.
$ \because OE,OF $ 分别是 $ AB,AC $ 的垂直平分线，
$ \therefore OA = OB = OC $.
$ \because \angle OBC,\angle OCB $ 的平分线相交于点 $ I $，
$ \therefore IM = IG = IN $.
$ \therefore $ 点 $ I $ 在 $ \angle BOC $ 的平分线上.
又 $ \because OB = OC $，$ \therefore OI \perp BC $.

3. 如图,已知 AD 是$∠BAC$的平分线,$DE⊥AB,DF⊥AC$,垂足分别为 E,F,且$BD= CD$,求证:$BE= CF$.

答案： 3. 证明：$ \because AD $ 平分 $ \angle BAC $，
$ DE \perp AB,DF \perp AC $，
$ \therefore \angle BED = \angle CFD = 90^{\circ},DE = DF $.
又 $ \because BD = CD $，
$ \therefore \text{Rt} \triangle BDE \cong \text{Rt} \triangle CDF(HL) $.
$ \therefore BE = CF $.