《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

2. 一个长方形的面积是$60cm^{2}$,分别以它的长和宽为边长的两个正方形的面积的和是$136cm^{2}$,求长方形的周长。

答案： 解：设长方形的长为$a$ $cm$，宽为$b$ $cm$。
由题意得：
$ab = 60$，$a^{2}+b^{2}=136$。
因为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，所以$(a + b)^{2}=136+2×60=256$，则$a + b = 16$（$a$、$b$为正数，负值舍去）。
长方形周长为$2(a + b)=2×16 = 32$ $cm$。
答：长方形的周长为$32cm$。

3. 如图,两个同心圆中,大圆半径为$25cm$,小圆半径为$15cm$,利用因式分解法求阴影圆环的面积。(结果保留$π$)

答案： 解：圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积
$\begin{aligned}S&=\pi R^{2}-\pi r^{2}\\&=\pi(R^{2}-r^{2})\\&=\pi(R+r)(R-r)\end{aligned}$
其中 $ R=25\,\text{cm} $, $ r=15\,\text{cm} $
$\begin{aligned}S&=\pi×(25+15)×(25-15)\\&=\pi×40×10\\&=400\pi\,\text{cm}^{2}\end{aligned}$
答：阴影圆环的面积为 $ 400\pi\,\text{cm}^{2} $

4. 计算：$(1-\frac {1}{2^{2}})(1-\frac {1}{3^{2}})(1-\frac {1}{4^{2}})... (1-\frac {1}{100^{2}})$。

答案： 解：原式$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\cdots(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$
$=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}$
$=\frac{101}{200}$

5. 在$\triangle ABC$中,$∠A$,$∠B$,$∠C的对边分别为a$,$b$,$c$,其中$a= 5$,$c= 13$,且$a$,$b$,$c满足等式a^{4}+b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}= 0$,求$\triangle ABC$的面积。

答案： 【解析】：本题考查勾股定理的逆定理及三角形面积公式。首先对给定等式进行变形，通过因式分解得到$(a^{2}+b^{2})^{2}=c^{4}$，开方后得出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，从而判断$\triangle ABC$是直角三角形，其中$c$为斜边。已知$a = 5$，$c = 13$，利用勾股定理可求出$b$的值，最后根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$计算面积。
【答案】：解：$\because a^{4}+b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}=0$
$\therefore (a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4})-c^{4}=0$
$\therefore (a^{2}+b^{2})^{2}-c^{4}=0$
$\therefore (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0$
$\because a$，$b$，$c$是三角形的边长，均为正数
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}\gt0$
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$
$\because a = 5$，$c = 13$
$\therefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$
$\therefore \triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5×12 = 30$
答：$\triangle ABC$的面积为$30$。