《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

6. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为巧数,如$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$,$20= 6^{2}-4^{2}$,因此$4$,$12$,$20$这三个数都是巧数。
(1)$400和2020$这两个数是巧数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数分别为$2n和2n-2$($n$为正整数),由这两个连续偶数构造的巧数是$4$的倍数吗？为什么？
(3)求$50到101$之间所有巧数之和。

答案： 【解析】：
(1)设两个连续偶数为$2k$和$2k - 2$（$k$为正整数），则巧数可表示为$(2k)^{2}-(2k - 2)^{2}$，化简得：
$\begin{aligned}(2k)^{2}-(2k - 2)^{2}&=4k^{2}-(4k^{2}-8k + 4)\\&=4k^{2}-4k^{2}+8k - 4\\&=8k - 4\\&=4(2k - 1)\end{aligned}$
对于$400$，令$4(2k - 1)=400$，则$2k - 1 = 100$，$2k=101$，$k=50.5$，不是正整数，所以$400$不是巧数；
对于$2020$，令$4(2k - 1)=2020$，则$2k - 1 = 505$，$2k=506$，$k=253$，是正整数，所以$2020$是巧数。
(2)由
(1)可知，由两个连续偶数$2n$和$2n - 2$构造的巧数为$(2n)^{2}-(2n - 2)^{2}=8n - 4 = 4(2n - 1)$，因为$n$为正整数，所以$2n - 1$是整数，因此巧数是$4$的倍数。
(3)由
(1)知巧数为$4(2k - 1)$，且$50\leqslant4(2k - 1)\leqslant101$，解不等式：
$50÷4\leqslant2k - 1\leqslant101÷4$，即$12.5\leqslant2k - 1\leqslant25.25$，所以$13.5\leqslant2k\leqslant26.25$，$6.75\leqslant k\leqslant13.125$，$k$为正整数，所以$k=7,8,9,10,11,12,13$。
对应的巧数分别为：
当$k=7$时，$4(2×7 - 1)=4×13=52$；
当$k=8$时，$4(2×8 - 1)=4×15=60$；
当$k=9$时，$4(2×9 - 1)=4×17=68$；
当$k=10$时，$4(2×10 - 1)=4×19=76$；
当$k=11$时，$4(2×11 - 1)=4×21=84$；
当$k=12$时，$4(2×12 - 1)=4×23=92$；
当$k=13$时，$4(2×13 - 1)=4×25=100$。
这些巧数之和为$52 + 60 + 68 + 76 + 84 + 92 + 100 = 532$。
【答案】：
(1)400不是巧数，2020是巧数；
(2)是，因为巧数为4(2n - 1)；
(3)532