《2025年新课堂暑假生活贵州教育出版社八年级数学北师大版》

2. 有这样一道题：“计算$\frac {x^{2}-2x+1}{x^{2}-1}÷\frac {x-1}{x^{2}+x}-x$的值,其中$x= 2014$。”有同学把“$x= 2014$”错抄成“$x= 2140$”,但是他的计算结果也是正确的,你说这是怎么回事？

答案： 解：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x} - x\\=&\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{x(x + 1)}{x - 1} - x\\=&\frac{(x - 1)^2 \cdot x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)(x - 1)} - x\\=&x - x\\=&0\end{aligned}$
因为代数式化简结果为0，与$x$的取值无关，所以无论$x$取2014还是2140，计算结果都正确。

3. 甲地到乙地有两条公路：一条是全长$600km$的普通公路,另一条是全长$480km$的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快$45km/h$,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。

答案： 解：设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为$x$小时，则由普通公路从甲地到乙地所需的时间为$2x$小时。
根据题意，得$\frac{480}{x} - \frac{600}{2x} = 45$
方程两边同乘$2x$，得$960 - 600 = 90x$
解得$x = 4$
经检验，$x = 4$是原方程的解，且符合题意。
答：该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为4小时。

4. 某车间有甲、乙两个小组,甲组的工作效率比乙组的工作效率高$25\%$,甲组加工$2000个零件所用的时间比乙组加工1800$个零件所用的时间少半小时,问：甲、乙两组每小时各加工多少个零件？

答案： 解：设乙组每小时加工$x$个零件，则甲组每小时加工$(1 + 25\%)x = 1.25x$个零件。
根据题意，得$\dfrac{1800}{x}-\dfrac{2000}{1.25x}=\dfrac{1}{2}$
解方程：
$\dfrac{1800}{x}-\dfrac{1600}{x}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{200}{x}=\dfrac{1}{2}$
$x = 400$
经检验，$x = 400$是原方程的解，且符合题意。
则甲组每小时加工：$1.25x = 1.25×400 = 500$（个）
答：甲组每小时加工500个零件，乙组每小时加工400个零件。