《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,有菱形$AMPN$,点$M$、$P$、$N分别在AB$、$BC$、$AC$上。若$\frac{AM}{MB}= \frac{1}{2}$,则$\frac{BP}{BC}= $$\frac{2}{3}$.

答案： 解：设$AM = x$，则$MB = 2x$，$AB = AM + MB = 3x$。
因为四边形$AMPN$是菱形，所以$AM = PN = x$，且$AM // PN$。
所以$\angle BMP = \angle A$（两直线平行，同位角相等），$\angle BPM = \angle C$（两直线平行，同位角相等）。
因此$\triangle BMP \sim \triangle BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
所以$\frac{BP}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$

9. 如图,在梯形$ABCD$中,已知$AD// BC$,$AC$、$BD相交于点O$。若$S_{\triangle AOD}= 4$,$S_{\triangle AOB}= 6$,则$S_{\triangle BOC}= $9.

答案： 解：
∵AD//BC，
∴△AOD∽△COB，∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC。
∵△AOD与△AOB同高，且S△AOD=4，S△AOB=6，
∴OD/OB=S△AOD/S△AOB=4/6=2/3。
∵△AOD∽△COB，相似比为OD/OB=2/3，
∴S△AOD/S△COB=(2/3)²=4/9。
∵S△AOD=4，
∴4/S△COB=4/9，解得S△COB=9。
即S△BOC=9。
答案：9

10. 如图,已知$EF// BC$,$FG// CD$.
求证：$\frac{AE}{AB}= \frac{AG}{AD}$.

答案： 【解析】：本题可根据平行线分线段成比例定理来证明$\frac{AE}{AB}= \frac{AG}{AD}$。
已知$EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$。
又因为$FG// CD$，同样根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AC}$。
由上述两个等式，通过等量代换即可证明$\frac{AE}{AB}= \frac{AG}{AD}$。
【答案】： 证明：
∵$EF// BC$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$FG// CD$，
∴$\frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AC}$（平行线分线段成比例定理）。
∴$\frac{AE}{AB}= \frac{AG}{AD}$（等量代换）。

11. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$DG// EC$,$EG// BC$.
求证：$AE^{2}= AB\cdot AD$.

答案： 【解析】：本题主要考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质。
已知$DG// EC$，$EG// BC$，根据平行线分线段成比例定理，在$\triangle ABC$中，因为$DG// EC$，所以有$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AC}$ ①；
又因为$EG// BC$，所以可得$\frac{AG}{AC}=\frac{AE}{AB}$ ②；
由①②可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AB}$，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，就可以证明$AE^{2}=AB\cdot AD$。
【答案】：证明：
∵$DG// EC$，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AC}$，
∵$EG// BC$，
∴$\frac{AG}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AB}$，
∴$AE^{2}=AB\cdot AD$。

12. 如图,已知四边形$ABCD$是平行四边形,$E是AB$延长线上一点,$DE分别交对角线AC于点G$,边$BC于点F$.
(1)求证：$DG^{2}= GF\cdot GE$；
(2)求证：$\frac{GC^{2}}{GA^{2}}= \frac{GF}{GE}$.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC，AB=CD。
∵AD//BC，
∴∠ADG=∠GFC，∠DAG=∠GCF，
∴△ADG∽△CFG，
∴$\frac{DG}{GF}=\frac{AG}{GC}$。
∵AB//CD，
∴∠DCG=∠EAG，∠CDG=∠AEG，
∴△CDG∽△AEG，
∴$\frac{GC}{GA}=\frac{DG}{GE}$，即$\frac{AG}{GC}=\frac{GE}{DG}$。
∴$\frac{DG}{GF}=\frac{GE}{DG}$，
∴$DG^2=GF\cdot GE$。
(2)证明：
由
(1)知$\frac{DG}{GF}=\frac{AG}{GC}$且$\frac{GC}{GA}=\frac{DG}{GE}$，
∴$\frac{DG}{GF}\cdot\frac{DG}{GE}=\frac{AG}{GC}\cdot\frac{GC}{GA}=1$，
即$\frac{DG^2}{GF\cdot GE}=1$，又由
(1)得$DG^2=GF\cdot GE$，代入得$\frac{GF\cdot GE}{GF\cdot GE}=1$（恒成立）。
由$\frac{DG}{GF}=\frac{AG}{GC}$得$\frac{GF}{DG}=\frac{GC}{AG}$，
由$\frac{DG}{GE}=\frac{GC}{GA}$得$\frac{DG}{GE}=\frac{GC}{GA}$，
两式相乘：$\frac{GF}{DG}\cdot\frac{DG}{GE}=\frac{GC}{AG}\cdot\frac{GC}{GA}$，
∴$\frac{GF}{GE}=\frac{GC^2}{GA^2}$，
即$\frac{GC^2}{GA^2}=\frac{GF}{GE}$。