《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(D)

答案： 解：在△ABC中，由勾股定理得：AB=√(3²+1²)=√10，BC=2，AC=√(1²+1²)=√2，
∴△ABC的三边长之比为BC:AC:AB=2:√2:√10=√2:1:√5。
选项A：三角形三边长为√(2²+2²)=2√2，√(1²+1²)=√2，√(1²+3²)=√10，
三边长之比为√2:2√2:√10=1:2:√5，与△ABC三边比不相等，不相似。
选项B：三角形三边长为1，√(1²+1²)=√2，√(1²+2²)=√5，
三边长之比为1:√2:√5=√2:2:√10，与△ABC三边比不相等，不相似。
选项C：三角形三边长为√(1²+1²)=√2，1，√(1²+2²)=√5，
三边长之比为1:√2:√5=√2:2:√10，与△ABC三边比不相等，不相似。
选项D：三角形三边长为√(1²+2²)=√5，√(2²+2²)=2√2，√(1²+3²)=√10，
三边长之比为√5:2√2:√10=√2:1:√5，与△ABC三边比相等，相似。
答案：D

2. 如图,△ABC中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,点B'在AB上,A'B'交AC于点F,则图中与△AB'F相似的三角形有(不再添加其他线段)
(C)

A.1个;
B.2个;
C.3个;
D.4个.

答案： 解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°。
由旋转性质得：CB=CB'，∠A'=∠A=30°，∠B'CA'=∠BCA=90°，∠A'B'C=∠B=60°。
∵CB=CB'，∠B=60°，
∴△CBB'是等边三角形，∠BB'C=60°，∠B'CB=60°，
∴∠ACB'=∠ACB - ∠B'CB=30°，∠AB'F=180° - ∠BB'C - ∠A'B'C=60°，
∠AFB'=180° - ∠A - ∠AB'F=90°。
在△AB'F中，∠A=30°，∠AB'F=60°，∠AFB'=90°。
1. △ABC：∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°，
∴△AB'F∽△ABC（AA）。
2. △A'B'C：∠A'=30°，∠A'B'C=60°，∠B'CA'=90°，
∴△AB'F∽△A'B'C（AA）。
3. △CFB'：∠FCB'=30°，∠CB'F=∠AB'F=60°，∠CFB'=90°，
∴△AB'F∽△CFB'（AA）。
综上，与△AB'F相似的三角形有3个。
答案：C

3. 如图,在等边三角形ABC中,AE= DE= DC,FE//MD//BC,FD的延长线交BC的延长线于点N,则$\frac{EF}{BN}的值为( )(A)\frac{1}{2};(B)\frac{1}{3};(C)\frac{1}{4};(D)\frac{1}{5}.$C

答案： 解：设等边三角形ABC边长为3a，AE=DE=DC=a。
∵FE//BC，△AFE∽△ABC，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴EF=$\frac{1}{3}$BC=a。
∵MD//BC，△AMD∽△ABC，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴MD=$\frac{2}{3}$BC=2a，MC=AC-AD=a。
∵FE//MD，△FED∽△NCD，$\frac{ED}{DC}=1$，
∴△FED≌△NCD，CN=EF=a。
BN=BC+CN=3a+a=4a。
$\frac{EF}{BN}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$。
答案：(C)

4. 根据你对相似的理解,下列命题不正确的是
(C)
A.三边之比为2:3:4的两个三角形一定相似;
B.三内角之比为2:3:4的两个三角形一定相似;
C.两邻边之比为2:3的两个直角三角形一定相似;
D.两邻边之比为2:3的两个矩形一定相似.

答案： 解：A. 三边对应成比例的两个三角形相似，三边之比为2:3:4的两个三角形三边对应成比例，一定相似，A正确；
B. 三角形内角和为180°，三内角之比为2:3:4的两个三角形，各内角分别为40°、60°、80°，三角对应相等，一定相似，B正确；
C. 两邻边之比为2:3的两个直角三角形，若一个直角三角形两直角边之比为2:3，另一个直角三角形直角边与斜边之比为2:3，则三边不成比例，不一定相似，C不正确；
D. 矩形四个角都是直角，两邻边之比为2:3的两个矩形，对应边成比例，对应角相等，一定相似，D正确。
结论：C