《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 若$3a = 4b$,则$\frac{a - b}{a + b}$的值为 (A)
A.$\frac{1}{7}$；
B.7；
C.$-\frac{1}{7}$；
D.-7.

答案： 【解析】：
本题主要考察比例的性质以及代数式的化简与求值。
首先，由题目给出的条件 $3a = 4b$，可以解出 $a$ 和 $b$ 之间的关系，即 $a = \frac{4}{3}b$。
接着，将这个关系代入到目标表达式 $\frac{a - b}{a + b}$ 中，进行化简。
具体步骤如下：
1. 由 $3a = 4b$，得 $a = \frac{4}{3}b$。
2. 将 $a = \frac{4}{3}b$ 代入 $\frac{a - b}{a + b}$，得：
$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\frac{4}{3}b - b}{\frac{4}{3}b + b}$
3. 化简得：
$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\frac{1}{3}b}{\frac{7}{3}b} = \frac{1}{7}$
【答案】：
A. $\frac{1}{7}$。

2. 已知线段$a = 3$,$c = 12$,则线段$a和c的比例中项b$等于 (C)
A.$\pm 6$；
B.36；
C.6；
D.-6.

答案： 【解析】：
本题主要考察比例中项的定义及计算。
根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则有$b^2 = ac$。
将已知的a和c的值代入上述公式，即可求出b的值。
计算过程中需要注意，线段长度不能为负，所以最后取正值。
【答案】：
解：
由于b是a和c的比例中项，根据比例中项的定义，我们有
$b^2 = a × c$
代入已知的a和c的值，即$a = 3$，$c = 12$，我们得到
$b^2 = 3 × 12 = 36$
解这个方程，我们得到
$b = \pm 6$
但由于线段的长度不能为负，所以我们只取正值，即
$b = 6$
故答案为：C. $6$。

3. 若$a:b = 1:2$,$b是a$,$c$的比例中项,则下面结论正确的是 (C)
A.$a:c = 1:2$；
B.$a:c = 2:1$；
C.$b:c = 1:2$；
D.$b:c = 2:1$.

答案： 解：
∵$a:b = 1:2$，设$a = k$，则$b = 2k$（$k≠0$）。
∵$b$是$a$，$c$的比例中项，
∴$a:b = b:c$。
即$k:2k = 2k:c$，化简得$1:2 = 2k:c$，解得$c = 4k$。
∴$a:c = k:4k = 1:4$，$b:c = 2k:4k = 1:2$。
结论正确的是C。
答案：C

4. 如果$x是a$,$b$的比例中项,那么$x^{2}=$$ab$.

答案： 【解析】：
本题主要考查比例中项的定义。比例中项的定义是，如果$x$是$a$和$b$的比例中项，则满足$\frac{a}{x} = \frac{x}{b}$。
根据这个定义，我们可以将等式两边同时乘以$x$和$b$，得到$x^2 = ab$。
【答案】：
$ab$

5. (1)如图,若$D是边BC$的中点,则$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}= $1；
(2)如图,若$D是边BC$上一点,且$\frac{CD}{BC}= \frac{1}{2}$,则$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}= $$\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题可根据三角形面积公式以及同高三角形面积与底边的关系来求解。
（1）求$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}$的值
已知$D$是边$BC$的中点，则$BD = DC$。
$\triangle ABD$与$\triangle ACD$分别以$BD$、$DC$为底边时，这两个三角形的高是相同的（都是从点$A$向$BC$边作垂线的长度）。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$表示面积，$a$表示底边长，$h$表示这条底边对应的高）。
设$\triangle ABD$的高为$h$，则$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD× h$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}DC× h$。
因为$BD = DC$，所以$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD× h}{\frac{1}{2}DC× h}=\frac{BD}{DC}=1$。
（2）求$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$的值
已知$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，即$BC = 2CD$。
$\triangle ACD$与$\triangle ABC$分别以$CD$、$BC$为底边时，这两个三角形的高是相同的（都是从点$A$向$BC$边作垂线的长度）。
设$\triangle ACD$的高为$h$，则$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD× h$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC× h$。
所以$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CD× h}{\frac{1}{2}BC× h}=\frac{CD}{BC}$。
因为$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1)$1$；
(2)$\frac{1}{2}$。

6. 如图,如果$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}= \frac{3}{2}$,那么$\frac{BD}{BC}= $$\frac{2}{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查比例线段的知识点，涉及等高三角形面积之比等于底边之比的性质。
两个三角形$\triangle ABC$和$\triangle ABD$有共同的高，即从点$A$垂直于$BC$的线段。
根据等高三角形的面积之比等于底边之比的性质，可以得到$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{BC}{BD}$。
已知$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{2}$，所以$\frac{BC}{BD}=\frac{3}{2}$。
那么$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$。
【答案】：$\frac{2}{3}$。

7. 如果点$P为线段AB$的黄金分割点,且$AP ＞ BP$,那么将线段$AB$、$AP$、$BP$之间的数量关系写成形如“$a^{2}= bc$”的形式是$AP^{2} = AB × BP$.

答案： 【解析】：
本题考查黄金分割的定义及性质。黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。这个比值还等于线段长与较短线段长的比，或者线段长减去较短线段长与较长线段长的比。
由于点P是线段AB的黄金分割点，并且$AP ＞ BP$，根据黄金分割的定义，我们有：
$\frac{AP}{AB} = \frac{BP}{AP}$
为了将上述关系式写成形如“$a^{2} = bc$”的形式，我们可以对等式两边同时乘以$AB × AP$，得到：
$AP^{2} = AB × BP$
【答案】：
$AP^{2} = AB × BP$

8. 若点$P是线段AB的黄金分割点(AP ＞ BP)$,$AB = 2$,则$AP= $$\sqrt{5} - 1$.

答案： 【解析】：
本题考查黄金分割点的定义和性质。黄金分割点是将一条线段分割为两部分，使得整个线段与较长部分的长度之比等于较长部分与较短部分的长度之比。其比值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，这是一个无理数，我们通常取其近似值1.618。
由于点P是线段AB的黄金分割点，并且$AP ＞ BP$，我们可以根据黄金分割的定义建立方程：
$\frac{AP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB = 2$，代入方程得：
$AP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5} - 1$
【答案】：
$AP = \sqrt{5} - 1$

9. 若点$P是线段AB$的黄金分割点,$AB = 2$,则$AP= $$\sqrt{5} - 1$或$3 - \sqrt{5}$.

答案： 【解析】：
本题考查黄金分割点的定义及计算。黄金分割点是一种特殊的分割方式，它将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值即为黄金比例$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
根据题意，点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AB=2$。
当$AP$是较长线段时，根据黄金分割的定义，我们有：
$\frac{AP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入$AB=2$，得到：
$AP = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5} - 1$，
当$AP$是较短线段时，根据黄金分割的定义，我们有：
$\frac{BP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入$AB=2$，得到：
$BP = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5} - 1$，
则，$AP=AB-BP=2-(\sqrt{5} - 1)=3-\sqrt{5}$，
综上，得出$AP$的可能长度为$\sqrt{5} - 1$或$3 - \sqrt{5}$。
【答案】：
$\sqrt{5} - 1$或$3 - \sqrt{5}$。

10. 已知点$C是线段AB$的黄金分割点,$AC = 5\sqrt{5}-5$,且$AC ＞ BC$,则线段$AB$、$BC$的长分别是______$AB=10$，$BC=15 - 5\sqrt{5}$.

答案： 解：设线段$AB$的长为$x$。
因为点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC ＞ BC$，所以$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AC = 5\sqrt{5}-5$，则$\dfrac{5\sqrt{5}-5}{x}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
方程两边同乘$2x$得：$2(5\sqrt{5}-5)=x(\sqrt{5}-1)$，即$10\sqrt{5}-10 = x(\sqrt{5}-1)$。
$x=\dfrac{10\sqrt{5}-10}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{10(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1}=10$，所以$AB = 10$。
$BC=AB - AC=10-(5\sqrt{5}-5)=15 - 5\sqrt{5}$。
答案：$AB=10$，$BC=15 - 5\sqrt{5}$。

11. 已知线段$MN的长为1$,点$P是线段MN的黄金分割点(PM ＞ PN)$,则$PM - PN$的值是$\sqrt{5} - 2$.

答案： 【解析】：
本题考查黄金分割的定义及性质。黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与整体的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值即为黄金比例$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
根据题意，线段$MN$被点$P$黄金分割，且$PM ＞ PN$，那么有：
$\frac{PM}{MN} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
由于$MN = 1$，代入上式得：
$PM = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
接着，利用线段的长度关系求出$PN$：
$PN = MN - PM = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$
最后，求$PM - PN$：
$PM - PN = \frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} - 2$
【答案】：
$\sqrt{5} - 2$

12. 已知线段$AB = 2$,$C是线段AB$上一点,且$AC是AB和BC$的比例中项,那么$AC= $$\sqrt{5} - 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了比例中项的定义及黄金分割的应用。
设$AC = x$，则$BC = 2 - x$。
根据比例中项的定义，有$AC^2 = AB × BC$，代入已知条件，得到方程$x^2 = 2(2 - x)$。
解这个一元二次方程，可以得到$AC$的长度。
【答案】：
解：设$AC = x$，则$BC = AB - AC = 2 - x$，
∵$AC$是$AB$与$BC$的比例中项，
∴$AC^2 = AB × BC$，即$x^2 = 2(2 - x)$，
整理得$x^2 + 2x - 4 = 0$，
解得$x_{1} = \sqrt{5} - 1$，$x_{2} = - \sqrt{5} - 1$（负值舍去），
∴$AC = \sqrt{5} - 1$，
故答案为$\sqrt{5} - 1$。