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1. 在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,$∠A与∠D$是顶角,下列判断不正确的是(
A.$∠A= ∠D$时,两三角形相似;
B.$∠A= ∠E$时,两三角形相似;
C.$∠B= ∠E$时,两三角形相似;
D.$\frac {AB}{BC}= \frac {DF}{EF}$时,两三角形相似.
B
)A.$∠A= ∠D$时,两三角形相似;
B.$∠A= ∠E$时,两三角形相似;
C.$∠B= ∠E$时,两三角形相似;
D.$\frac {AB}{BC}= \frac {DF}{EF}$时,两三角形相似.
答案：
解：
A.
∵△ABC和△DEF是等腰三角形，∠A与∠D是顶角，∠A=∠D，
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2，∠E=∠F=(180°-∠D)/2，
∴∠B=∠E，∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF（AA），正确。
B. ∠A=∠E，∠A是顶角，∠E是底角，无法确定其他角关系，两三角形不一定相似，不正确。
C.
∵∠B=∠E，∠B、∠E是底角，
∴∠A=180°-2∠B，∠D=180°-2∠E，
∴∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF（AA），正确。
D.
∵AB/BC=DF/EF，AB=AC，DE=DF，
∴AB/BC=DE/EF，
又∠B=∠E（等腰三角形底角），
∴△ABC∽△DEF（SAS），正确。
结论：不正确的是B。
答案：B
A.
∵△ABC和△DEF是等腰三角形，∠A与∠D是顶角，∠A=∠D，
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2，∠E=∠F=(180°-∠D)/2，
∴∠B=∠E，∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF（AA），正确。
B. ∠A=∠E，∠A是顶角，∠E是底角，无法确定其他角关系，两三角形不一定相似，不正确。
C.
∵∠B=∠E，∠B、∠E是底角，
∴∠A=180°-2∠B，∠D=180°-2∠E，
∴∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF（AA），正确。
D.
∵AB/BC=DF/EF，AB=AC，DE=DF，
∴AB/BC=DE/EF，
又∠B=∠E（等腰三角形底角），
∴△ABC∽△DEF（SAS），正确。
结论：不正确的是B。
答案：B
2. 下列四个三角形中,与左图中$△ABC$相似的是(
B
)
答案：
解：设每个小正方形边长为1。
在△ABC中，AC=4，BC=2，∠C=90°，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(4²+2²)=2√5，
∴△ABC三边之比为BC:AC:AB=2:4:2√5=1:2:√5。
选项A：设三角形两直角边为1、3，斜边=√(1²+3²)=√10，三边之比为1:3:√10≠1:2:√5，不相似。
选项B：设三角形两直角边为2、4，斜边=√(2²+4²)=2√5，三边之比为2:4:2√5=1:2:√5，与△ABC三边对应成比例，相似。
选项C、D经计算三边比例均不符合1:2:√5。
答案：(B)
在△ABC中，AC=4，BC=2，∠C=90°，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(4²+2²)=2√5，
∴△ABC三边之比为BC:AC:AB=2:4:2√5=1:2:√5。
选项A：设三角形两直角边为1、3，斜边=√(1²+3²)=√10，三边之比为1:3:√10≠1:2:√5，不相似。
选项B：设三角形两直角边为2、4，斜边=√(2²+4²)=2√5，三边之比为2:4:2√5=1:2:√5，与△ABC三边对应成比例，相似。
选项C、D经计算三边比例均不符合1:2:√5。
答案：(B)
3. 一个三角形的三边边长之比为$4:5:6$,三边中点联结所成的三角形周长为60,则原三角形各边的长为(
A.16,20,24;
B.32,40,48;
C.8,10,12;
D.12,15,18.
B
)A.16,20,24;
B.32,40,48;
C.8,10,12;
D.12,15,18.
答案：
解：设原三角形三边分别为4k，5k，6k（k＞0）。
因为三角形三边中点联结所成的三角形是原三角形的中位线三角形，其周长为原三角形周长的一半。
原三角形周长为4k+5k+6k=15k，
则中位线三角形周长为15k/2=60，
解得k=8。
原三角形各边的长为4×8=32，5×8=40，6×8=48。
答案：B.32,40,48。
因为三角形三边中点联结所成的三角形是原三角形的中位线三角形，其周长为原三角形周长的一半。
原三角形周长为4k+5k+6k=15k，
则中位线三角形周长为15k/2=60，
解得k=8。
原三角形各边的长为4×8=32，5×8=40，6×8=48。
答案：B.32,40,48。
4. 如图,若点A、B、C、D、E、F、G、H、J均为方格纸中的格点,以点D、E为顶点,构造一个三角形,使其与$△ABC$相似,则另一个点应为(
A.点F;
B.点G;
C.点H;
D.点J.
C
)A.点F;
B.点G;
C.点H;
D.点J.
答案：
【解析】：
本题考查相似三角形的判定定理，为了找到与$△ABC$相似的三角形，我们需要考虑三角形的边长比例和角度。
首先，观察$△ABC$，我们可以看到AB、BC和AC的长度。然后，我们将D和E作为新三角形两个顶点，并考虑方格纸中的格点作为第三个顶点。我们需要找到一个点，使得新形成的三角形与$△ABC$有相同的角度或边长比例。
通过观察，我们可以发现：
假设每个小方格的边长为1，
那么$AB = 1$，$BC = 2$，$AC =\sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}$，
$DE = 1$，$DH = 2$，$HE =\sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}$，
此时$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{HE}=1$，
并且夹角相等，
所以$△ABC$和$△DEH$相似。
【答案】：C.点H。
本题考查相似三角形的判定定理，为了找到与$△ABC$相似的三角形，我们需要考虑三角形的边长比例和角度。
首先，观察$△ABC$，我们可以看到AB、BC和AC的长度。然后，我们将D和E作为新三角形两个顶点，并考虑方格纸中的格点作为第三个顶点。我们需要找到一个点，使得新形成的三角形与$△ABC$有相同的角度或边长比例。
通过观察，我们可以发现：
假设每个小方格的边长为1，
那么$AB = 1$，$BC = 2$，$AC =\sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}$，
$DE = 1$，$DH = 2$，$HE =\sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}$，
此时$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{HE}=1$，
并且夹角相等，
所以$△ABC$和$△DEH$相似。
【答案】：C.点H。
5. 已知$Rt△ABC\backsim Rt△A'B'C',∠C= ∠C'= 90^{\circ }$.点A与$A'$对应,若$AB= 3,BC= 2,A'B'= 6$,则$B'C'= $
4
,$A'C'= $$2\sqrt{5}$
.
答案：
解：
∵Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
∵AB=3，A'B'=6，BC=2，
∴$\frac{3}{6}=\frac{2}{B'C'}$，解得$B'C'=4$。
在Rt△A'B'C'中，∠C'=90°，
$A'C'=\sqrt{A'B'^2 - B'C'^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=\sqrt{36 - 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
4；$2\sqrt{5}$
∵Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
∵AB=3，A'B'=6，BC=2，
∴$\frac{3}{6}=\frac{2}{B'C'}$，解得$B'C'=4$。
在Rt△A'B'C'中，∠C'=90°，
$A'C'=\sqrt{A'B'^2 - B'C'^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=\sqrt{36 - 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
4；$2\sqrt{5}$
6. 已知一个三角形的三边长分别为8cm、6cm、12cm,另一个与它相似的三角形的最短边长为3cm,则其余两边长分别为
4cm，6cm
.
答案：
【解析】：
本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的对应边之间的比例是相等的。
首先，我们需要确定两个相似三角形的对应边。
题目中给出的第一个三角形的三边长为$8cm$、$6cm$、$12cm$，其中最短边长为$6cm$。
第二个相似三角形的最短边长为$3cm$。
因此，我们可以设第二个三角形的其余两边长分别为$xcm$和$ycm$。
根据相似三角形的性质，我们有：
$\frac{6}{3} = \frac{8}{x} = \frac{12}{y}$
即：
$\frac{8}{x} = 2$
$\frac{12}{y} = 2$
解这两个方程，我们得到：
$x = 4$
$y = 6$
【答案】：
$4cm$，$6cm$。
本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的对应边之间的比例是相等的。
首先，我们需要确定两个相似三角形的对应边。
题目中给出的第一个三角形的三边长为$8cm$、$6cm$、$12cm$，其中最短边长为$6cm$。
第二个相似三角形的最短边长为$3cm$。
因此，我们可以设第二个三角形的其余两边长分别为$xcm$和$ycm$。
根据相似三角形的性质，我们有：
$\frac{6}{3} = \frac{8}{x} = \frac{12}{y}$
即：
$\frac{8}{x} = 2$
$\frac{12}{y} = 2$
解这两个方程，我们得到：
$x = 4$
$y = 6$
【答案】：
$4cm$，$6cm$。
7. 如图,$△ABC$中,已知D是AC上的一点,$AB= AC= 4,BC= BD= 3$,则$AD= $
$\frac{7}{4}$
.
答案：
解：设 $AD = x$，则 $DC = AC - AD = 4 - x$。
因为 $AB = AC = 4$，所以 $\angle ABC = \angle C$。
因为 $BC = BD = 3$，所以 $\angle BDC = \angle C$。
所以 $\angle ABC = \angle BDC$。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BDC$ 中，
$\begin{cases}\angle ABC = \angle BDC \\\angle C = \angle C\end{cases}$
所以 $\triangle ABC \sim \triangle BDC$（两角对应相等，两三角形相似）。
所以 $\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$，即 $\frac{4}{3} = \frac{3}{4 - x}$。
解得 $4(4 - x) = 9$，$16 - 4x = 9$，$4x = 7$，$x = \frac{7}{4}$。
故 $AD = \frac{7}{4}$。
因为 $AB = AC = 4$，所以 $\angle ABC = \angle C$。
因为 $BC = BD = 3$，所以 $\angle BDC = \angle C$。
所以 $\angle ABC = \angle BDC$。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BDC$ 中，
$\begin{cases}\angle ABC = \angle BDC \\\angle C = \angle C\end{cases}$
所以 $\triangle ABC \sim \triangle BDC$（两角对应相等，两三角形相似）。
所以 $\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$，即 $\frac{4}{3} = \frac{3}{4 - x}$。
解得 $4(4 - x) = 9$，$16 - 4x = 9$，$4x = 7$，$x = \frac{7}{4}$。
故 $AD = \frac{7}{4}$。
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