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1. 下列命题正确的是 (
A.所有等腰三角形都相似；
B.两边成比例的两个等腰三角形相似；
C.有一个角相等的两个等腰三角形相似；
D.有一个角是$100^{\circ }$的两个等腰三角形相似.
D
)A.所有等腰三角形都相似；
B.两边成比例的两个等腰三角形相似；
C.有一个角相等的两个等腰三角形相似；
D.有一个角是$100^{\circ }$的两个等腰三角形相似.
答案：
解：A.等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，如顶角为30°的等腰三角形与顶角为40°的等腰三角形不相似，故A错误；
B.两边成比例，但夹角不一定相等，如一个等腰三角形的腰长为2，底边长为3，另一个等腰三角形的腰长为4，底边长为6，此时对应边成比例，但形状不同，不相似，故B错误；
C.相等的角可能一个是顶角，一个是底角，如等腰三角形ABC中∠A=30°（顶角），等腰三角形DEF中∠D=30°（底角），则两三角形不相似，故C错误；
D.100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以两个等腰三角形的顶角都为100°，则底角都为（180°-100°）÷2=40°，三个角对应相等，所以相似，故D正确.
答案：D
B.两边成比例，但夹角不一定相等，如一个等腰三角形的腰长为2，底边长为3，另一个等腰三角形的腰长为4，底边长为6，此时对应边成比例，但形状不同，不相似，故B错误；
C.相等的角可能一个是顶角，一个是底角，如等腰三角形ABC中∠A=30°（顶角），等腰三角形DEF中∠D=30°（底角），则两三角形不相似，故C错误；
D.100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以两个等腰三角形的顶角都为100°，则底角都为（180°-100°）÷2=40°，三个角对应相等，所以相似，故D正确.
答案：D
2. 如图,已知$∠AOD= 90^{\circ },OA= OB= BC= CD$,则下列结论正确的是 (
A.$△OAB\backsim △OCA;$
B.$△OAB\backsim △ODA;$
C.$△BAC\backsim △BDA;$
D.以上结论都不对.
C
)A.$△OAB\backsim △OCA;$
B.$△OAB\backsim △ODA;$
C.$△BAC\backsim △BDA;$
D.以上结论都不对.
答案：
解：设 $OA = OB = BC = CD = k$。
在 $Rt\triangle AOD$ 中，$OA = k$，$OD = 4k$，则 $AD = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{k^2 + (4k)^2} = \sqrt{17}k$。
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2}k$，$AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5}k$，$BD = 2k$，$BC = k$。
选项A：$\triangle OAB$ 与 $\triangle OCA$。$\frac{OA}{OC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA} = \frac{k}{k} = 1$，$\frac{AB}{CA} = \frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{10}}{5}$，三边不成比例，不相似。
选项B：$\triangle OAB$ 与 $\triangle ODA$。$\frac{OA}{OD} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$，$\frac{OB}{OA} = \frac{k}{k} = 1$，$\frac{AB}{DA} = \frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{17}k} = \frac{\sqrt{34}}{17}$，三边不成比例，不相似。
选项C：$\triangle BAC$ 与 $\triangle BDA$。$\angle ABC = \angle DBA$（公共角）。$\frac{BC}{BA} = \frac{k}{\sqrt{2}k} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BA}{BD} = \frac{\sqrt{2}k}{2k} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，两边成比例且夹角相等，相似。
结论：选项C正确。
答案：C
在 $Rt\triangle AOD$ 中，$OA = k$，$OD = 4k$，则 $AD = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{k^2 + (4k)^2} = \sqrt{17}k$。
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2}k$，$AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5}k$，$BD = 2k$，$BC = k$。
选项A：$\triangle OAB$ 与 $\triangle OCA$。$\frac{OA}{OC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA} = \frac{k}{k} = 1$，$\frac{AB}{CA} = \frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{10}}{5}$，三边不成比例，不相似。
选项B：$\triangle OAB$ 与 $\triangle ODA$。$\frac{OA}{OD} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$，$\frac{OB}{OA} = \frac{k}{k} = 1$，$\frac{AB}{DA} = \frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{17}k} = \frac{\sqrt{34}}{17}$，三边不成比例，不相似。
选项C：$\triangle BAC$ 与 $\triangle BDA$。$\angle ABC = \angle DBA$（公共角）。$\frac{BC}{BA} = \frac{k}{\sqrt{2}k} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BA}{BD} = \frac{\sqrt{2}k}{2k} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，两边成比例且夹角相等，相似。
结论：选项C正确。
答案：C
3. 在$△ABC和△A'B'C'$中,已知$∠B= ∠B'$,下列条件不能判断这两个三角形相似的是(
A.$∠A= ∠C';$
B.$∠A= ∠A';$
C.$\frac {AB}{BC}= \frac {A'B'}{B'C'};$
D.$\frac {AB}{AC}= \frac {A'B'}{A'C'}.$
D
)A.$∠A= ∠C';$
B.$∠A= ∠A';$
C.$\frac {AB}{BC}= \frac {A'B'}{B'C'};$
D.$\frac {AB}{AC}= \frac {A'B'}{A'C'}.$
答案：
解：A. 在$△ABC$和$△A'B'C'$中，$∠B=∠B'$，若$∠A=∠C'$，则$∠C=∠A'$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判断相似。
B. 若$∠A=∠A'$，且$∠B=∠B'$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判断相似。
C. 若$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$，且$∠B=∠B'$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判断相似。
D. $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}$，但$∠B$不是$AB$与$AC$的夹角，$∠B'$也不是$A'B'$与$A'C'$的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判断相似。
答案：D
B. 若$∠A=∠A'$，且$∠B=∠B'$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判断相似。
C. 若$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$，且$∠B=∠B'$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判断相似。
D. $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}$，但$∠B$不是$AB$与$AC$的夹角，$∠B'$也不是$A'B'$与$A'C'$的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判断相似。
答案：D
4. 如图,在$△ABC$中,已知DE不平行于BC,当$\frac {AB}{AE}= $
$\frac{AC}{AD}$
时,$△ABC\backsim △AED.$
答案：
【解析】：
题目考查相似三角形的判定定理2的内容，需要判断两个三角形相似的条件。
根据相似三角形的判定定理2，如果两个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在题目中，已知$DE$不平行于$BC$，需要找到使得$\triangle ABC \sim \triangle AED$的条件。
观察图形，可以发现$\angle A$是$\triangle ABC$和$\triangle AED$的公共角，即$\angle BAC = \angle EAD$。
为了使$\triangle ABC \sim \triangle AED$，需要满足$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$。
由于题目只问了$\frac{AB}{AE}$的比值，而没有给出$AC$和$AD$的具体关系，但根据相似三角形的判定定理，可以知道当$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$时，两个三角形相似。
在这里，可以理解为当$\frac{AB}{AE}$等于某个常数时（即$\frac{AC}{AD}$的值），两个三角形就相似。
由于题目没有给出具体的边长，只能根据相似三角形的性质来填写答案。
根据相似三角形的判定定理2，可以得出当$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$时，$\triangle ABC \sim \triangle AED$。
由于题目只要求填写$\frac{AB}{AE}$的比值，可以简化为当$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$（或等价地，当两边对应成比例且夹角相等）时，两个三角形相似。
在这里，直接填写$\frac{AC}{AD}$作为答案，因为这是使得两个三角形相似的必要条件。
【答案】：
$\frac{AC}{AD}$。
题目考查相似三角形的判定定理2的内容，需要判断两个三角形相似的条件。
根据相似三角形的判定定理2，如果两个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在题目中，已知$DE$不平行于$BC$，需要找到使得$\triangle ABC \sim \triangle AED$的条件。
观察图形，可以发现$\angle A$是$\triangle ABC$和$\triangle AED$的公共角，即$\angle BAC = \angle EAD$。
为了使$\triangle ABC \sim \triangle AED$，需要满足$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$。
由于题目只问了$\frac{AB}{AE}$的比值，而没有给出$AC$和$AD$的具体关系，但根据相似三角形的判定定理，可以知道当$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$时，两个三角形相似。
在这里，可以理解为当$\frac{AB}{AE}$等于某个常数时（即$\frac{AC}{AD}$的值），两个三角形就相似。
由于题目没有给出具体的边长，只能根据相似三角形的性质来填写答案。
根据相似三角形的判定定理2，可以得出当$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$时，$\triangle ABC \sim \triangle AED$。
由于题目只要求填写$\frac{AB}{AE}$的比值，可以简化为当$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$（或等价地，当两边对应成比例且夹角相等）时，两个三角形相似。
在这里，直接填写$\frac{AC}{AD}$作为答案，因为这是使得两个三角形相似的必要条件。
【答案】：
$\frac{AC}{AD}$。
5. 如上题,若$AB= 8,BC= 7,AE= 5$,则$DE= $
$\frac{35}{8}$
.
答案：
1. 首先，根据相似三角形的性质：
因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$（由上题可知），根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（相似三角形对应边成比例）。
设$DE = x$，由$\triangle ADE\sim\triangle ABC$可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
已知$AB = 8$，$BC = 7$，$AE = 5$，先求$AD$，$AD=AB - BD$，但这里我们直接用$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$（因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$），又因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$AD = AB - BD$，这里我们重新利用相似三角形对应边成比例$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$（因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，对应边$DE$与$BC$，$AE$与$AB$）。
2. 然后，代入数值计算：
把$AB = 8$，$BC = 7$，$AE = 5$代入$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$中，得到$\frac{x}{7}=\frac{5}{8}$。
根据比例的性质“交叉相乘相等”，即$8x=5×7$。
则$x=\frac{35}{8}$。
所以$DE=\frac{35}{8}$。
因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$（由上题可知），根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（相似三角形对应边成比例）。
设$DE = x$，由$\triangle ADE\sim\triangle ABC$可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
已知$AB = 8$，$BC = 7$，$AE = 5$，先求$AD$，$AD=AB - BD$，但这里我们直接用$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$（因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$），又因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$AD = AB - BD$，这里我们重新利用相似三角形对应边成比例$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$（因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，对应边$DE$与$BC$，$AE$与$AB$）。
2. 然后，代入数值计算：
把$AB = 8$，$BC = 7$，$AE = 5$代入$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$中，得到$\frac{x}{7}=\frac{5}{8}$。
根据比例的性质“交叉相乘相等”，即$8x=5×7$。
则$x=\frac{35}{8}$。
所以$DE=\frac{35}{8}$。
6. 在$△ABC和△A'B'C'$中,已知$∠B= ∠B',AB= 6,BC= 8,B'C'= 4$,则当$A'B'= $
3或$\frac{16}{3}$
时,$△ABC\backsim △A'B'C'.$
答案：
解：当△ABC∽△A'B'C'且∠B=∠B'时，根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），有两种情况：
情况1：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$
即$\frac{6}{A'B'}=\frac{8}{4}$
解得$A'B'=3$
情况2：$\frac{AB}{B'C'}=\frac{BC}{A'B'}$
即$\frac{6}{4}=\frac{8}{A'B'}$
解得$A'B'=\frac{16}{3}$
综上，$A'B'=3$或$\frac{16}{3}$
答案：3或$\frac{16}{3}$
情况1：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$
即$\frac{6}{A'B'}=\frac{8}{4}$
解得$A'B'=3$
情况2：$\frac{AB}{B'C'}=\frac{BC}{A'B'}$
即$\frac{6}{4}=\frac{8}{A'B'}$
解得$A'B'=\frac{16}{3}$
综上，$A'B'=3$或$\frac{16}{3}$
答案：3或$\frac{16}{3}$
7. 如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,$∠ADO= ∠BCO.$
求证:$△ABO\backsim △DCO.$
求证:$△ABO\backsim △DCO.$
答案：
证明：
∵∠ADO=∠BCO，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴△AOD∽△BOC（两角对应相等的两个三角形相似）。
∴AO/BO=DO/CO（相似三角形对应边成比例）。
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△ABO∽△DCO（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵∠ADO=∠BCO，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴△AOD∽△BOC（两角对应相等的两个三角形相似）。
∴AO/BO=DO/CO（相似三角形对应边成比例）。
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△ABO∽△DCO（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
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