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11. 在直角坐标平面内有一点$P(2,4)$,求$OP与x轴正半轴的夹角α$的四个三角比的值.
答案：
【解析】：
本题主要考察直角坐标系中任意角的三角比的定义。在直角坐标系中，对于任意角$α$，其正弦值为对边长度除以斜边长度，余弦值为邻边长度除以斜边长度，正切值为对边长度除以邻边长度。题目给出了点$P(2,4)$，因此我们可以计算出$OP$的长度，即斜边长度，然后利用三角比的定义求出$α$的正弦、余弦、正切值。
首先，我们需要计算点$P$到原点$O$的距离，即斜边$OP$的长度。根据勾股定理，$OP = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
然后，我们可以利用三角比的定义来求解。
* 正弦值：$\sinα = \frac{对边}{斜边} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
* 余弦值：$\cosα = \frac{邻边}{斜边} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
* 正切值：$\tanα = \frac{对边}{邻边} = \frac{4}{2} = 2$。
* 余切值为正切的倒数：$\cotα = \frac{1}{\tanα} = \frac{1}{2}$。
【答案】：
解：
$\sinα = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\cosα = \frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\tanα = 2$；
$\cotα = \frac{1}{2}$。
本题主要考察直角坐标系中任意角的三角比的定义。在直角坐标系中，对于任意角$α$，其正弦值为对边长度除以斜边长度，余弦值为邻边长度除以斜边长度，正切值为对边长度除以邻边长度。题目给出了点$P(2,4)$，因此我们可以计算出$OP$的长度，即斜边长度，然后利用三角比的定义求出$α$的正弦、余弦、正切值。
首先，我们需要计算点$P$到原点$O$的距离，即斜边$OP$的长度。根据勾股定理，$OP = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
然后，我们可以利用三角比的定义来求解。
* 正弦值：$\sinα = \frac{对边}{斜边} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
* 余弦值：$\cosα = \frac{邻边}{斜边} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
* 正切值：$\tanα = \frac{对边}{邻边} = \frac{4}{2} = 2$。
* 余切值为正切的倒数：$\cotα = \frac{1}{\tanα} = \frac{1}{2}$。
【答案】：
解：
$\sinα = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\cosα = \frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\tanα = 2$；
$\cotα = \frac{1}{2}$。
12. 如图,在四边形$ABCD$中,已知$∠BAD = ∠BDC = 90^{\circ}$,且$AD = 3$,$sin∠ABD= \frac{3}{5}$,$sin∠DBC= \frac{12}{13}$,求$AB$、$BC$、$CD$的长.
答案：
解：在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=3，sin∠ABD=AD/BD=3/5，
设AD=3k，BD=5k，
∵AD=3，
∴3k=3，解得k=1，
∴BD=5k=5，
由勾股定理得：AB=√(BD²-AD²)=√(5²-3²)=4。
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，sin∠DBC=CD/BC=12/13，
设CD=12m，BC=13m(m＞0)，
由勾股定理得：BD=√(BC²-CD²)=√[(13m)²-(12m)²]=5m，
∵BD=5，
∴5m=5，解得m=1，
∴CD=12m=12，BC=13m=13。
综上，AB=4，BC=13，CD=12。
设AD=3k，BD=5k，
∵AD=3，
∴3k=3，解得k=1，
∴BD=5k=5，
由勾股定理得：AB=√(BD²-AD²)=√(5²-3²)=4。
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，sin∠DBC=CD/BC=12/13，
设CD=12m，BC=13m(m＞0)，
由勾股定理得：BD=√(BC²-CD²)=√[(13m)²-(12m)²]=5m，
∵BD=5，
∴5m=5，解得m=1，
∴CD=12m=12，BC=13m=13。
综上，AB=4，BC=13，CD=12。
13. 在$Rt△ABC$中,已知$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = 13$,$CD是斜边AB$上的高,且$CD = 5$,求$∠B$的四个三角比的值.
答案：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD\perp AB$，
$\therefore \angle ADC=\angle CDB=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=\angle B$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=13$，$CD=5$，
$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$。
$\sin\angle ACD=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$，$\cos\angle ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{5}{13}$，
$\tan\angle ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{5}$，$\cot\angle ACD=\frac{CD}{AD}=\frac{5}{12}$。
$\because \angle ACD=\angle B$，
$\therefore \sin B=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{12}{5}$，$\cot B=\frac{5}{12}$。
$\therefore \angle ADC=\angle CDB=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=\angle B$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=13$，$CD=5$，
$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$。
$\sin\angle ACD=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$，$\cos\angle ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{5}{13}$，
$\tan\angle ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{5}$，$\cot\angle ACD=\frac{CD}{AD}=\frac{5}{12}$。
$\because \angle ACD=\angle B$，
$\therefore \sin B=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{12}{5}$，$\cot B=\frac{5}{12}$。
14. 如图,在$△ABC$中,已知$∠C = 90^{\circ}$,点$D在BC$上,$BD = 4$,$AD = BC$,$cos∠ADC= \frac{3}{5}$.
(1)求$DC$的长；
(2)求$sinB$的值.
(1)求$DC$的长；
(2)求$sinB$的值.
答案：
【解析】：本题主要考查了解直角三角形的相关知识，包括三角函数的定义和应用，以及勾股定理在直角三角形中的运用。
（1）要求$DC$的长，可以通过在$Rt\bigtriangleup ACD$中利用$\cos\angle ADC$的值以及$AD$的长度来求解。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，已知$\cos\angle ADC = \frac{3}{5}$，根据余弦函数的定义，有$\cos\angle ADC = \frac{DC}{AD}$。
设$DC = 3x$，由于$\cos\angle ADC = \frac{3}{5}$，则$AD = 5x$（这里$x$是一个正实数，用于表示$DC$和$AD$的比例关系）。
已知$BD = 4$，且$AD = BC$，所以$BC = 5x$。
根据线段的和差关系，有$BC = BD + DC$，即$5x = 4 + 3x$。
解这个方程，得到$2x = 4$，从而$x = 2$。
将$x = 2$代入$DC = 3x$，得到$DC = 6$。
（2）要求$\sin B$的值，可以通过在$Rt\bigtriangleup ABC$中利用$AC$和$AB$的长度来求解。
由（1）知$AD = 5× 2=10$，即$BC = 10$，且$DC = 6$。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，利用勾股定理，有$AC = \sqrt{AD^{2} - DC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，再次利用勾股定理，有$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 10^{2}} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$。
根据正弦函数的定义，有$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{41}$。
【答案】：
(1)$DC = 6$
(2)$\sin B = \frac{4\sqrt{41}}{41}$
（1）要求$DC$的长，可以通过在$Rt\bigtriangleup ACD$中利用$\cos\angle ADC$的值以及$AD$的长度来求解。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，已知$\cos\angle ADC = \frac{3}{5}$，根据余弦函数的定义，有$\cos\angle ADC = \frac{DC}{AD}$。
设$DC = 3x$，由于$\cos\angle ADC = \frac{3}{5}$，则$AD = 5x$（这里$x$是一个正实数，用于表示$DC$和$AD$的比例关系）。
已知$BD = 4$，且$AD = BC$，所以$BC = 5x$。
根据线段的和差关系，有$BC = BD + DC$，即$5x = 4 + 3x$。
解这个方程，得到$2x = 4$，从而$x = 2$。
将$x = 2$代入$DC = 3x$，得到$DC = 6$。
（2）要求$\sin B$的值，可以通过在$Rt\bigtriangleup ABC$中利用$AC$和$AB$的长度来求解。
由（1）知$AD = 5× 2=10$，即$BC = 10$，且$DC = 6$。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，利用勾股定理，有$AC = \sqrt{AD^{2} - DC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，再次利用勾股定理，有$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 10^{2}} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$。
根据正弦函数的定义，有$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{41}$。
【答案】：
(1)$DC = 6$
(2)$\sin B = \frac{4\sqrt{41}}{41}$
(1)如图1、2所示,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化.试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索到的规律,试比较$18^{\circ}$、$35^{\circ}$、$50^{\circ}$、$62^{\circ}$、$88^{\circ}$这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
(3)比较大小：(在空格处填写“＜”“＞”或“=”)
若$α = 45^{\circ}$,则$sinα$
若$α ＜ 45^{\circ}$,则$sinα$
若$α ＞ 45^{\circ}$,则$sinα$
(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小：$sin10^{\circ}$,$cos30^{\circ}$,$sin50^{\circ}$,$cos70^{\circ}$.
随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，余弦值减小
(2)根据你探索到的规律,试比较$18^{\circ}$、$35^{\circ}$、$50^{\circ}$、$62^{\circ}$、$88^{\circ}$这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
$\sin18^{\circ}＜\sin35^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\sin62^{\circ}＜\sin88^{\circ}$，$\cos18^{\circ}＞\cos35^{\circ}＞\cos50^{\circ}＞\cos62^{\circ}＞\cos88^{\circ}$
(3)比较大小：(在空格处填写“＜”“＞”或“=”)
若$α = 45^{\circ}$,则$sinα$
=
$cosα$；若$α ＜ 45^{\circ}$,则$sinα$
＜
$cosα$；若$α ＞ 45^{\circ}$,则$sinα$
＞
$cosα$.(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小：$sin10^{\circ}$,$cos30^{\circ}$,$sin50^{\circ}$,$cos70^{\circ}$.
$\sin10^{\circ}＜\cos70^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\cos30^{\circ}$
答案：
【解析】：
（1）由图1，当锐角增大时，$AC$不变，$BC$增大，
$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}$随着增大，即正弦值增大，
$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}$随着减小，即余弦值减小，
所以，随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，余弦值减小。
（2）由（1）知：
$\sin18^{\circ}＜\sin35^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\sin62^{\circ}＜\sin88^{\circ}$，
$\cos18^{\circ}＞\cos35^{\circ}＞\cos50^{\circ}＞\cos62^{\circ}＞\cos88^{\circ}$。
（3）由（1）知：
若$\alpha=45^{\circ}$，则$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\sin\alpha=\cos\alpha$；
若$\alpha＜45^{\circ}$，则$\sin\alpha＜\sin45^{\circ},\cos\alpha＞\cos45^{\circ}$，
则$\sin\alpha＜\cos\alpha$；
若$\alpha＞45^{\circ}$，则$\sin\alpha＞\sin45^{\circ},\cos\alpha＜\cos45^{\circ}$，
则$\sin\alpha＞\cos\alpha$。
（4）因为$\cos30^{\circ}=\sin60^{\circ},\cos70^{\circ}=\sin20^{\circ}$，
所以$\sin10^{\circ}＜\cos70^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\cos30^{\circ}$。
【答案】：
(1)随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，余弦值减小；
(2)$\sin18^{\circ}＜\sin35^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\sin62^{\circ}＜\sin88^{\circ}$，$\cos18^{\circ}＞\cos35^{\circ}＞\cos50^{\circ}＞\cos62^{\circ}＞\cos88^{\circ}$；
(3)$=$；$＜$；$＞$；
(4)$\sin10^{\circ}＜\cos70^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\cos30^{\circ}$。
（1）由图1，当锐角增大时，$AC$不变，$BC$增大，
$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}$随着增大，即正弦值增大，
$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}$随着减小，即余弦值减小，
所以，随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，余弦值减小。
（2）由（1）知：
$\sin18^{\circ}＜\sin35^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\sin62^{\circ}＜\sin88^{\circ}$，
$\cos18^{\circ}＞\cos35^{\circ}＞\cos50^{\circ}＞\cos62^{\circ}＞\cos88^{\circ}$。
（3）由（1）知：
若$\alpha=45^{\circ}$，则$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\sin\alpha=\cos\alpha$；
若$\alpha＜45^{\circ}$，则$\sin\alpha＜\sin45^{\circ},\cos\alpha＞\cos45^{\circ}$，
则$\sin\alpha＜\cos\alpha$；
若$\alpha＞45^{\circ}$，则$\sin\alpha＞\sin45^{\circ},\cos\alpha＜\cos45^{\circ}$，
则$\sin\alpha＞\cos\alpha$。
（4）因为$\cos30^{\circ}=\sin60^{\circ},\cos70^{\circ}=\sin20^{\circ}$，
所以$\sin10^{\circ}＜\cos70^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\cos30^{\circ}$。
【答案】：
(1)随着锐角度数的增大，它的正弦值增大，余弦值减小；
(2)$\sin18^{\circ}＜\sin35^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\sin62^{\circ}＜\sin88^{\circ}$，$\cos18^{\circ}＞\cos35^{\circ}＞\cos50^{\circ}＞\cos62^{\circ}＞\cos88^{\circ}$；
(3)$=$；$＜$；$＞$；
(4)$\sin10^{\circ}＜\cos70^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\cos30^{\circ}$。
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