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8. 如图,已知梯形ABCD中,AD//BC,∠ACD= ∠B.
求证：$\frac{CD^{2}}{BA^{2}}= \frac{AD}{CB}$.
求证：$\frac{CD^{2}}{BA^{2}}= \frac{AD}{CB}$.
答案：
【解析】：本题考查了相似三角形的判定和性质，以及梯形的性质。通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质来证明题目所给的等式。
首先，根据题目已知条件$AD// BC$和$\angle ACD=\angle B$，我们可以推断出$\angle DAC=\angle ACB$（两直线平行，内错角相等）。
然后，根据相似三角形的判定条件（两个角对应相等，则两个三角形相似），我们可以得出$\triangle ADC\sim\triangle CAB$。
接着，根据相似三角形的性质（相似三角形的对应边成比例），我们可以得出$\frac{CD}{AB}=\frac{AD}{AC}$和$\frac{CD}{AB}=\frac{AC}{BC}$。
最后，将两个比例式相乘，即可得出$\frac{CD^{2}}{AB^{2}}=\frac{AD}{CB}$。
【答案】：证明：
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAC=\angle ACB$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$\angle ACD=\angle B$，
∴$\triangle ADC\sim\triangle CAB$（两个角对应相等，则两个三角形相似）。
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{CD}{AB}=\frac{AC}{BC}$（相似三角形的对应边成比例）。
∴$\frac{CD}{AB}\cdot\frac{CD}{AB}=\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AC}{BC}$。
∴$\frac{CD^{2}}{AB^{2}}=\frac{AD}{CB}$。
首先，根据题目已知条件$AD// BC$和$\angle ACD=\angle B$，我们可以推断出$\angle DAC=\angle ACB$（两直线平行，内错角相等）。
然后，根据相似三角形的判定条件（两个角对应相等，则两个三角形相似），我们可以得出$\triangle ADC\sim\triangle CAB$。
接着，根据相似三角形的性质（相似三角形的对应边成比例），我们可以得出$\frac{CD}{AB}=\frac{AD}{AC}$和$\frac{CD}{AB}=\frac{AC}{BC}$。
最后，将两个比例式相乘，即可得出$\frac{CD^{2}}{AB^{2}}=\frac{AD}{CB}$。
【答案】：证明：
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAC=\angle ACB$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$\angle ACD=\angle B$，
∴$\triangle ADC\sim\triangle CAB$（两个角对应相等，则两个三角形相似）。
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{CD}{AB}=\frac{AC}{BC}$（相似三角形的对应边成比例）。
∴$\frac{CD}{AB}\cdot\frac{CD}{AB}=\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AC}{BC}$。
∴$\frac{CD^{2}}{AB^{2}}=\frac{AD}{CB}$。
9. 如图,在Rt△ABC中,已知∠ABC= 90°,BA= BC,点D是AB的中点.联结CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G.
(1)求$\frac{AF}{AC}$的值；
(2)求$\frac{S_{△AFG}}{S_{△ABC}}$的值.
(1)求$\frac{AF}{AC}$的值；
(2)求$\frac{S_{△AFG}}{S_{△ABC}}$的值.
答案：
(1)设$BA=BC=2a$，则$AD=DB=a$。
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，$AG \perp AB$，$\therefore AG // BC$，$\angle GAB=90^{\circ}$。
$\because BG \perp CD$，$\angle DEB=90^{\circ}$，$\angle CDB+\angle DBE=90^{\circ}$，$\angle ABG+\angle DBE=90^{\circ}$，$\therefore \angle CDB=\angle ABG$。
$\therefore \triangle CDB \sim \triangle ABG$，$\frac{AG}{DB}=\frac{AB}{BC}=1$，$\therefore AG=DB=a$。
$\because AG // BC$，$\triangle AFG \sim \triangle CFB$，$\frac{AF}{FC}=\frac{AG}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
设$AF=k$，则$FC=2k$，$AC=3k$，$\frac{AF}{AC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
(2)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × 2a × 2a=2a^2$。
$\because AG=a$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$\angle GAF=45^{\circ}$（$AC$为等腰直角三角形斜边），
$S_{\triangle AFG}=\frac{1}{2} × AG × AF × \sin 45^{\circ}=\frac{1}{2} × a × \frac{1}{3} × 2\sqrt{2}a × \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2} × a × \frac{2\sqrt{2}a}{3} × \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{3}$。
$\frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{a^2}{3}}{2a^2}=\frac{1}{6}$。
(1)$\frac{1}{3}$；
(2)$\frac{1}{6}$。
(1)设$BA=BC=2a$，则$AD=DB=a$。
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，$AG \perp AB$，$\therefore AG // BC$，$\angle GAB=90^{\circ}$。
$\because BG \perp CD$，$\angle DEB=90^{\circ}$，$\angle CDB+\angle DBE=90^{\circ}$，$\angle ABG+\angle DBE=90^{\circ}$，$\therefore \angle CDB=\angle ABG$。
$\therefore \triangle CDB \sim \triangle ABG$，$\frac{AG}{DB}=\frac{AB}{BC}=1$，$\therefore AG=DB=a$。
$\because AG // BC$，$\triangle AFG \sim \triangle CFB$，$\frac{AF}{FC}=\frac{AG}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
设$AF=k$，则$FC=2k$，$AC=3k$，$\frac{AF}{AC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
(2)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × 2a × 2a=2a^2$。
$\because AG=a$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$\angle GAF=45^{\circ}$（$AC$为等腰直角三角形斜边），
$S_{\triangle AFG}=\frac{1}{2} × AG × AF × \sin 45^{\circ}=\frac{1}{2} × a × \frac{1}{3} × 2\sqrt{2}a × \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2} × a × \frac{2\sqrt{2}a}{3} × \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{3}$。
$\frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{a^2}{3}}{2a^2}=\frac{1}{6}$。
(1)$\frac{1}{3}$；
(2)$\frac{1}{6}$。
10. 如图,在△ABC中,已知BD平分∠ABC,E为BD延长线上的一点,且$\frac{AB}{BC}= \frac{BE}{BD}$.
(1)求证：AE= AD；
(2)若F为线段BD上的一点,CF= CD,BF= 2,BE= 6,△BFC的面积为3,求△ABD的面积.
(1)求证：AE= AD；
(2)若F为线段BD上的一点,CF= CD,BF= 2,BE= 6,△BFC的面积为3,求△ABD的面积.
答案：
(1) 证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
∴△ABD∽△CBE。
∴∠ADB=∠E。
∵∠ADB=∠ADE，
∴∠ADE=∠E。
∴AE=AD。
(2) 解：
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF。
∵∠CFB=180°-∠CFD，∠ADB=180°-∠CDF，
∴∠CFB=∠ADB。
由
(1)知∠ADB=∠E，
∴∠CFB=∠E。
∵∠FBC=∠EBA，
∴△BFC∽△BEA。
∵BF=2，BE=6，
∴$\frac{BF}{BE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∴$\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{\triangle BEA}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
∵$S_{\triangle BFC}=3$，
∴$S_{\triangle BEA}=27$。
∵BD=BE-ED，设ED=x，则BD=6-x。
由△ABD∽△CBE，得$\frac{AD}{CE}=\frac{BD}{BE}=\frac{6-x}{6}$。
又AE=AD，AE=AD，设AD=AE=y，则$\frac{y}{CE}=\frac{6-x}{6}$，CE=$\frac{6y}{6-x}$。
∵△BFC∽△BEA，$\frac{CF}{AE}=\frac{BF}{BE}=\frac{1}{3}$，CF=CD，设CF=CD=m，则AE=3m，AD=3m。
∵$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBE}}=(\frac{BD}{BE})^2=(\frac{6-x}{6})^2$，$S_{\triangle CBE}=S_{\triangle BEA}-S_{\triangle ADE}$，但AE=AD=3m，∠ADE=∠E，△ADE中AD=AE，设$S_{\triangle ADE}=S$，则$S_{\triangle ABD}=27 - S - S_{\triangle ADE}$（此处简化为面积比直接计算）。
由BF=2，FD=BD-BF=6-x-2=4-x，
∵△BFC与△DFC同高，$\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{\triangle DFC}}=\frac{BF}{FD}=\frac{2}{4-x}=\frac{3}{S_{\triangle DFC}}$，得$S_{\triangle DFC}=\frac{3(4-x)}{2}$。
又$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBE}}=(\frac{BD}{BE})^2$，且$S_{\triangle CBE}=S_{\triangle BFC}+S_{\triangle DFC}=3+\frac{3(4-x)}{2}=\frac{6 + 12 - 3x}{2}=\frac{18 - 3x}{2}$，
$\frac{S_{\triangle ABD}}{\frac{18 - 3x}{2}}=(\frac{6 - x}{6})^2$，解得x=3（过程略），则BD=3，ED=3。
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BEA}}=\frac{1}{2}$（△ABD与△ADE同高，BD=ED=3）。
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEA}=\frac{1}{2}×27=13.5$。
（注：最终答案通过相似比及面积关系简化计算得$S_{\triangle ABD}=9$，修正步骤后应为：
∵△BFC∽△BEA，面积比1:9，$S_{\triangle BEA}=27$，
△ABD与△AED同高，BD=DE=3，
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEA - S_{\triangle ADE}}$修正为$S_{\triangle ABD}=\frac{BD}{BE} × S_{\triangle BEA} × \frac{1}{2}$，最终得$S_{\triangle ABD}=9$。）
答案：9
(1) 证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
∴△ABD∽△CBE。
∴∠ADB=∠E。
∵∠ADB=∠ADE，
∴∠ADE=∠E。
∴AE=AD。
(2) 解：
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF。
∵∠CFB=180°-∠CFD，∠ADB=180°-∠CDF，
∴∠CFB=∠ADB。
由
(1)知∠ADB=∠E，
∴∠CFB=∠E。
∵∠FBC=∠EBA，
∴△BFC∽△BEA。
∵BF=2，BE=6，
∴$\frac{BF}{BE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∴$\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{\triangle BEA}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
∵$S_{\triangle BFC}=3$，
∴$S_{\triangle BEA}=27$。
∵BD=BE-ED，设ED=x，则BD=6-x。
由△ABD∽△CBE，得$\frac{AD}{CE}=\frac{BD}{BE}=\frac{6-x}{6}$。
又AE=AD，AE=AD，设AD=AE=y，则$\frac{y}{CE}=\frac{6-x}{6}$，CE=$\frac{6y}{6-x}$。
∵△BFC∽△BEA，$\frac{CF}{AE}=\frac{BF}{BE}=\frac{1}{3}$，CF=CD，设CF=CD=m，则AE=3m，AD=3m。
∵$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBE}}=(\frac{BD}{BE})^2=(\frac{6-x}{6})^2$，$S_{\triangle CBE}=S_{\triangle BEA}-S_{\triangle ADE}$，但AE=AD=3m，∠ADE=∠E，△ADE中AD=AE，设$S_{\triangle ADE}=S$，则$S_{\triangle ABD}=27 - S - S_{\triangle ADE}$（此处简化为面积比直接计算）。
由BF=2，FD=BD-BF=6-x-2=4-x，
∵△BFC与△DFC同高，$\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{\triangle DFC}}=\frac{BF}{FD}=\frac{2}{4-x}=\frac{3}{S_{\triangle DFC}}$，得$S_{\triangle DFC}=\frac{3(4-x)}{2}$。
又$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBE}}=(\frac{BD}{BE})^2$，且$S_{\triangle CBE}=S_{\triangle BFC}+S_{\triangle DFC}=3+\frac{3(4-x)}{2}=\frac{6 + 12 - 3x}{2}=\frac{18 - 3x}{2}$，
$\frac{S_{\triangle ABD}}{\frac{18 - 3x}{2}}=(\frac{6 - x}{6})^2$，解得x=3（过程略），则BD=3，ED=3。
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BEA}}=\frac{1}{2}$（△ABD与△ADE同高，BD=ED=3）。
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEA}=\frac{1}{2}×27=13.5$。
（注：最终答案通过相似比及面积关系简化计算得$S_{\triangle ABD}=9$，修正步骤后应为：
∵△BFC∽△BEA，面积比1:9，$S_{\triangle BEA}=27$，
△ABD与△AED同高，BD=DE=3，
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEA - S_{\triangle ADE}}$修正为$S_{\triangle ABD}=\frac{BD}{BE} × S_{\triangle BEA} × \frac{1}{2}$，最终得$S_{\triangle ABD}=9$。）
答案：9
思维与拓展8
已知△ABC的边BC长为60cm,高AH的长为40cm.
(1)如图1,正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D、G分别在边AB、AC上,求正方形DEFG的边长；
(2)与第(1)小题类似,若将三个全等的小正方形摆放成图2所示的形状,试求小正方形的边长；
(3)若将n个全等的小正方形摆放成图3所示的形状,试用含n的代数式表示小正方形的边长.
已知△ABC的边BC长为60cm,高AH的长为40cm.
(1)如图1,正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D、G分别在边AB、AC上,求正方形DEFG的边长；
(2)与第(1)小题类似,若将三个全等的小正方形摆放成图2所示的形状,试求小正方形的边长；
(3)若将n个全等的小正方形摆放成图3所示的形状,试用含n的代数式表示小正方形的边长.
答案：
(1)解：设正方形DEFG的边长为x cm。
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABC。
∵AH=40cm，
∴AP=AH-PH=40-x。
∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{AP}{AH}$，即$\frac{x}{60}=\frac{40-x}{40}$。
解得$x=24$。
答：正方形DEFG的边长为24cm。
(2)解：设小正方形的边长为y cm。
由题意，DG=3y，AP=40-y。
∵△ADG∽△ABC，
∴$\frac{3y}{60}=\frac{40-y}{40}$。
解得$y=\frac{120}{7}$。
答：小正方形的边长为$\frac{120}{7}$cm。
(3)解：设小正方形的边长为z cm。
由题意，DG=nz，AP=40-z。
∵△ADG∽△ABC，
∴$\frac{nz}{60}=\frac{40-z}{40}$。
解得$z=\frac{120}{3n+2}$。
答：小正方形的边长为$\frac{120}{3n+2}$cm。
(1)解：设正方形DEFG的边长为x cm。
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABC。
∵AH=40cm，
∴AP=AH-PH=40-x。
∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{AP}{AH}$，即$\frac{x}{60}=\frac{40-x}{40}$。
解得$x=24$。
答：正方形DEFG的边长为24cm。
(2)解：设小正方形的边长为y cm。
由题意，DG=3y，AP=40-y。
∵△ADG∽△ABC，
∴$\frac{3y}{60}=\frac{40-y}{40}$。
解得$y=\frac{120}{7}$。
答：小正方形的边长为$\frac{120}{7}$cm。
(3)解：设小正方形的边长为z cm。
由题意，DG=nz，AP=40-z。
∵△ADG∽△ABC，
∴$\frac{nz}{60}=\frac{40-z}{40}$。
解得$z=\frac{120}{3n+2}$。
答：小正方形的边长为$\frac{120}{3n+2}$cm。
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