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11. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 3AC$,求$\tan B$的值。
答案：
【解析】：
本题主要考察直角三角形中三角函数的应用。在直角三角形中，已知斜边和一条直角边的关系，需要求另一个锐角的正切值。
首先，根据题目条件，设$AC = x$，则$AB = 3x$。
接着，利用勾股定理求出另一条直角边$BC$的长度。
最后，根据正切函数的定义，求出$\tan B$的值。
【答案】：
解：
设$AC = x$，则$AB = 3x$。
利用勾股定理，我们有：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(3x)^{2} - x^{2}} = \sqrt{9x^{2} - x^{2}} = \sqrt{8x^{2}} = 2\sqrt{2}x$
根据正切函数的定义，我们有：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{2\sqrt{2}x} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
本题主要考察直角三角形中三角函数的应用。在直角三角形中，已知斜边和一条直角边的关系，需要求另一个锐角的正切值。
首先，根据题目条件，设$AC = x$，则$AB = 3x$。
接着，利用勾股定理求出另一条直角边$BC$的长度。
最后，根据正切函数的定义，求出$\tan B$的值。
【答案】：
解：
设$AC = x$，则$AB = 3x$。
利用勾股定理，我们有：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(3x)^{2} - x^{2}} = \sqrt{9x^{2} - x^{2}} = \sqrt{8x^{2}} = 2\sqrt{2}x$
根据正切函数的定义，我们有：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{2\sqrt{2}x} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
12. 已知等腰三角形的两边长分别为$20cm$、$30cm$,求底角的正切值。
答案：
【解析】：
本题主要考察等腰三角形的性质以及三角函数的应用。
首先，我们需要明确等腰三角形的性质：等腰三角形有两边长度相等，这两边对应的两个角也相等，称为底角。
然后，我们需要通过分类讨论来确定等腰三角形的三边长度，进而利用勾股定理求出底边上的高，最后利用正切函数的定义求出底角的正切值。
【答案】：
解：
当$20cm$为腰长时，等腰三角形的三边长为$20cm$，$20cm$，$30cm$。
作底边上的高，根据等腰三角形的性质，底边上的高也是底边的中垂线，所以底边的一半长度为$\frac{30}{2}=15cm$。
利用勾股定理，可以求出底边上的高$h$：
$h = \sqrt{20^{2} - 15^{2}} = \sqrt{400 - 225} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}cm$。
因此，底角的正切值为：
$\tan(\theta) = \frac{h}{15} = \frac{5\sqrt{7}}{15} = \frac{\sqrt{7}}{3}$。
当$30cm$为腰长时，等腰三角形的三边长为$30cm$，$30cm$，$20cm$。
同样作底边上的高，底边的一半长度为$\frac{20}{2}=10cm$。
利用勾股定理，可以求出底边上的高$h^{\prime}$：
$h' = \sqrt{30^{2} - 10^{2}} = \sqrt{900 - 100} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}cm$。
因此，底角的正切值为：
$\tan(\theta') = \frac{h'}{10} = \frac{20\sqrt{2}}{10} = 2\sqrt{2}$。
综上，底角的正切值有两种可能，分别为$\frac{\sqrt{7}}{3}$或$2\sqrt{2}$。
本题主要考察等腰三角形的性质以及三角函数的应用。
首先，我们需要明确等腰三角形的性质：等腰三角形有两边长度相等，这两边对应的两个角也相等，称为底角。
然后，我们需要通过分类讨论来确定等腰三角形的三边长度，进而利用勾股定理求出底边上的高，最后利用正切函数的定义求出底角的正切值。
【答案】：
解：
当$20cm$为腰长时，等腰三角形的三边长为$20cm$，$20cm$，$30cm$。
作底边上的高，根据等腰三角形的性质，底边上的高也是底边的中垂线，所以底边的一半长度为$\frac{30}{2}=15cm$。
利用勾股定理，可以求出底边上的高$h$：
$h = \sqrt{20^{2} - 15^{2}} = \sqrt{400 - 225} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}cm$。
因此，底角的正切值为：
$\tan(\theta) = \frac{h}{15} = \frac{5\sqrt{7}}{15} = \frac{\sqrt{7}}{3}$。
当$30cm$为腰长时，等腰三角形的三边长为$30cm$，$30cm$，$20cm$。
同样作底边上的高，底边的一半长度为$\frac{20}{2}=10cm$。
利用勾股定理，可以求出底边上的高$h^{\prime}$：
$h' = \sqrt{30^{2} - 10^{2}} = \sqrt{900 - 100} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}cm$。
因此，底角的正切值为：
$\tan(\theta') = \frac{h'}{10} = \frac{20\sqrt{2}}{10} = 2\sqrt{2}$。
综上，底角的正切值有两种可能，分别为$\frac{\sqrt{7}}{3}$或$2\sqrt{2}$。
13. 如图,在矩形$ABCD$中,已知$AB = AE = 5$,$AD = 3$,求$\tan \angle AEB$。
答案：
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD = BC = 3$，$AB = CD = 5$，$\angle D = \angle C = 90^\circ$。
设 $DE = x$，则 $EC = CD - DE = 5 - x$。
在 $Rt\triangle ADE$ 中，$AE = 5$，$AD = 3$，
由勾股定理得：$DE^2 + AD^2 = AE^2$，
即 $x^2 + 3^2 = 5^2$，解得 $x = 4$（负值舍去），
∴ $DE = 4$，$EC = 5 - 4 = 1$。
在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BC = 3$，$EC = 1$，
$\tan \angle BEC = \frac{BC}{EC} = \frac{3}{1} = 3$。
∵ $AE = AB = 5$，
∴ $\triangle AEB$ 是等腰三角形，$\angle AEB = \angle ABE$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle ABE = \angle BEC$，
∴ $\angle AEB = \angle BEC$，
∴ $\tan \angle AEB = \tan \angle BEC = 3$。
答案：3
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD = BC = 3$，$AB = CD = 5$，$\angle D = \angle C = 90^\circ$。
设 $DE = x$，则 $EC = CD - DE = 5 - x$。
在 $Rt\triangle ADE$ 中，$AE = 5$，$AD = 3$，
由勾股定理得：$DE^2 + AD^2 = AE^2$，
即 $x^2 + 3^2 = 5^2$，解得 $x = 4$（负值舍去），
∴ $DE = 4$，$EC = 5 - 4 = 1$。
在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BC = 3$，$EC = 1$，
$\tan \angle BEC = \frac{BC}{EC} = \frac{3}{1} = 3$。
∵ $AE = AB = 5$，
∴ $\triangle AEB$ 是等腰三角形，$\angle AEB = \angle ABE$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle ABE = \angle BEC$，
∴ $\angle AEB = \angle BEC$，
∴ $\tan \angle AEB = \tan \angle BEC = 3$。
答案：3
14. 在$\triangle ABC$中,已知$\angle C = 90^{\circ}$,且$AC ＞ BC$,$CD\perp AB于点D$,$DE\perp AC于点E$,$EF\perp AB于点F$。若$CD = 4$,$AB = 10$,求$EF:AF$的值。
答案：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$CD\perp AB$，$CD=4$，$AB=10$。
由面积法得：$AC\cdot BC=AB\cdot CD=10×4=40$。
设$AC=b$，$BC=a$，则$a^{2}+b^{2}=AB^{2}=100$，$ab=40$。
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=100+80=180$，$(b - a)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=100 - 80=20$，因$AC＞BC$，即$b＞a$，故$b - a=2\sqrt{5}$，$a + b=6\sqrt{5}$，解得$a=2\sqrt{5}$，$b=4\sqrt{5}$。
$\sin\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
在$\triangle ADE$中，$DE\perp AC$，$\angle AED=90^{\circ}$，$AE=AD\cdot\cos\angle A$。
在$\triangle ACD$中，$AD=AC\cdot\cos\angle A=4\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=8$，故$AE=8×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{16\sqrt{5}}{5}$。
在$\triangle AEF$中，$EF\perp AB$，$\angle AFE=90^{\circ}$，$EF=AE\cdot\sin\angle A=\frac{16\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{16}{5}$，$AF=AE\cdot\cos\angle A=\frac{16\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{32}{5}$。
所以$EF:AF=\frac{16}{5}:\frac{32}{5}=1:2$。
答案：$1:2$
由面积法得：$AC\cdot BC=AB\cdot CD=10×4=40$。
设$AC=b$，$BC=a$，则$a^{2}+b^{2}=AB^{2}=100$，$ab=40$。
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=100+80=180$，$(b - a)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=100 - 80=20$，因$AC＞BC$，即$b＞a$，故$b - a=2\sqrt{5}$，$a + b=6\sqrt{5}$，解得$a=2\sqrt{5}$，$b=4\sqrt{5}$。
$\sin\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
在$\triangle ADE$中，$DE\perp AC$，$\angle AED=90^{\circ}$，$AE=AD\cdot\cos\angle A$。
在$\triangle ACD$中，$AD=AC\cdot\cos\angle A=4\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=8$，故$AE=8×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{16\sqrt{5}}{5}$。
在$\triangle AEF$中，$EF\perp AB$，$\angle AFE=90^{\circ}$，$EF=AE\cdot\sin\angle A=\frac{16\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{16}{5}$，$AF=AE\cdot\cos\angle A=\frac{16\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{32}{5}$。
所以$EF:AF=\frac{16}{5}:\frac{32}{5}=1:2$。
答案：$1:2$
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