《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

11. 在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$.
(1)已知$tanB= \frac {3}{2},b= 9$,求a、c的长;
(2)已知$∠A= 60^{\circ },△ABC的面积S= 12\sqrt {3}$,求a、b、c的值及$∠B$的度数.

答案：
(1)解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\tan B=\frac{3}{2}$，$b=9$
$\because \tan B=\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$
$\therefore \frac{9}{a}=\frac{3}{2}$
解得$a=6$
由勾股定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36 + 81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$
(2)解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=30^{\circ}$
设$b=x$，则$c=2x$，$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$
$\because \triangle ABC$的面积$S=12\sqrt{3}$
$\therefore \frac{1}{2}ab=12\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}×\sqrt{3}x× x=12\sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}=12\sqrt{3}$
$x^{2}=24$
解得$x=2\sqrt{6}$（负值舍去）
$\therefore b=2\sqrt{6}$，$a=\sqrt{3}×2\sqrt{6}=6\sqrt{2}$，$c=2×2\sqrt{6}=4\sqrt{6}$

12. 已知等腰三角形ABC中,$AB= AC= 13,BC= 10$,求底角的余切值.

答案： 【解析】：
本题主要考察等腰三角形的性质以及直角三角形的三角函数值计算。
在等腰三角形中，底边上的高将等腰三角形分为两个全等的直角三角形。
因此，可以通过勾股定理求出底边上的高，再利用余切的定义（对边/邻边）求出底角的余切值。
设等腰三角形$ABC$的底边$BC$上的高为$AD$，则$AD \perp BC$，且$BD = \frac{BC}{2} = 5$（等腰三角形三线合一）。
在直角三角形$ABD$中，利用勾股定理有：
$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，
根据余切的定义，底角$B$的余切值为：
$\cot B = \frac{BD}{AD} = \frac{5}{12}$。
【答案】：
$\cot B = \frac{5}{12}$。

13. 如图,在$△ABC$中,$∠A= 60^{\circ },∠B= 45^{\circ },AB= 8$,求$△ABC$的面积.(结果可保留根号)

答案： 【解析】：
本题要求三角形$ABC$的面积，已知$AB$的长度以及两个角度，可通过作辅助线，利用三角函数求出高，进而求出面积。
我们可以先求出$AB$边上的高，再根据三角形面积公式求解。
过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，这样就构造出了两个直角三角形$ACD$和$BCD$。
在直角三角形$ACD$中，$\angle A = 60^{\circ}$，设$CD = h$，则$AD=\frac{h}{\tan60^{\circ}}=\frac{h}{\sqrt{3}}$。
在直角三角形$BCD$中，$\angle B = 45^{\circ}$，则$BD = h$（因为$\tan45^{\circ}= 1$）。
已知$AB = 8$，而$AB=AD + BD$，即$\frac{h}{\sqrt{3}}+h = 8$。
解这个关于$h$的方程：
$\begin{aligned}\frac{h}{\sqrt{3}}+h&= 8\\h(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)&= 8\\h(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}})&= 8\\h&=\frac{8\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\\h&=\frac{8\sqrt{3}( \sqrt{3}-1)}{(1 + \sqrt{3})( \sqrt{3}-1)}\\h&=\frac{24-8\sqrt{3}}{3 - 1}\\h&=12 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底是$AB = 8$，高是$CD = h = 12 - 4\sqrt{3}$。
则$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×8×(12 - 4\sqrt{3})=48 - 16\sqrt{3}$。
【答案】：
$48 - 16\sqrt{3}$。

14. 如图,在$△ABC$中,$AB= 9,BC= 6,△ABC$的面积等于9,求$sinB$的值.

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形面积公式以及正弦函数的定义。
先根据三角形面积公式求出$AC$边上的高，再利用正弦函数的定义求出$\sin B$的值。
已知在$\triangle ABC$中，$BC = 6$，$\triangle ABC$的面积等于$9$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里以$BC$为底，设$AC$边上的高为$h$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$。
将$S_{\triangle ABC}=9$，$BC = 6$代入可得：
$\frac{1}{2}×6× h = 9$
$3h = 9$
解得$h = 3$。
过$A$作$AD\perp BC$于$D$，则$AD = 3$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}$（正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值）。
已知$AB = 9$，$AD = 3$，将其代入可得：
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】：$\frac{1}{3}$

思维与拓展15
已知在$Rt△ABC$中,$∠A= 90^{\circ },sinB= \frac {\sqrt {5}}{5},BC= a$,点D在边BC上,将这个三角形沿直线AD折叠,点C恰好落在边AB上,那么$BD= $$\frac{3}{5}a$.(用a的代数式表示)

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$BC=a$，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\because \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}}{5}a$。
$\because \cos B=\sqrt{1-\sin^{2}B}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{5}}{5})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{a}$，$\therefore AB=\frac{2\sqrt{5}}{5}a$。
设$CD=x$，则$BD=a - x$，由折叠性质得$DE=CD=x$，$AE=AC=\frac{\sqrt{5}}{5}a$。
$\therefore BE=AB - AE=\frac{2\sqrt{5}}{5}a - \frac{\sqrt{5}}{5}a=\frac{\sqrt{5}}{5}a$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle BED=90^{\circ}$，由勾股定理得$BE^{2}+DE^{2}=BD^{2}$，即$(\frac{\sqrt{5}}{5}a)^{2}+x^{2}=(a - x)^{2}$。
解得$x=\frac{2}{5}a$，$\therefore BD=a - \frac{2}{5}a=\frac{3}{5}a$。
答案：$\frac{3}{5}a$