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9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,已知$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$于点D.
(1) 写出图中所有的相似三角形;
(2) 写出(1)中相似三角形对应边的比例式.
(1) 写出图中所有的相似三角形;
(2) 写出(1)中相似三角形对应边的比例式.
答案：
(1) $\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$
(2) 对于$\triangle ABC \sim \triangle ACD$：$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{CD}$；
对于$\triangle ABC \sim \triangle CBD$：$\frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD}$；
对于$\triangle ACD \sim \triangle CBD$：$\frac{AC}{CB} = \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$
(1) $\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$
(2) 对于$\triangle ABC \sim \triangle ACD$：$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{CD}$；
对于$\triangle ABC \sim \triangle CBD$：$\frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD}$；
对于$\triangle ACD \sim \triangle CBD$：$\frac{AC}{CB} = \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$
10. 如图,在$\triangle ABC与\triangle DCE$中,已知$∠ACB= 90^{\circ },∠DCE= 90^{\circ }$,且$DC⊥AB,DC$、DE分别交AB于点M、N.当$\frac {DN}{BC}= \frac {MN}{CM},DE= 10$时, 求CF的长.
答案：
1. 首先，证明$\triangle CMN\sim\triangle BCD$：
已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DC\perp AB$，则$\angle B+\angle A=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACM = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACM$。
又因为$\frac{DN}{BC}=\frac{MN}{CM}$，且$\angle CMN=\angle BCD = 90^{\circ}$（由$DC\perp AB$，$\angle DCE = 90^{\circ}$可得）。
根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle CMN\sim\triangle BCD$。
所以$\angle CNM=\angle D$。
2. 然后，证明$CF = EF$：
因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle E+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle NCF+\angle NCA = 90^{\circ}$。
又因为$\angle CNM=\angle FNC$（对顶角相等），$\angle CNM=\angle D$，所以$\angle E=\angle NCF$。
根据等角对等边，可得$CF = EF$。
3. 最后，求$CF$的长：
同理可证$\angle FCE=\angle E$，$\angle FCD=\angle D$。
因为$DE = 10$，且$DE=DN + NE$，$CF = EF$，$CF = DF$（由$\angle FCD=\angle D$得$DF = CF$）。
所以$CF=\frac{1}{2}DE$。
解：
因为$\triangle CMN\sim\triangle BCD$（已证），所以$\angle CNM=\angle D$。
又因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle E+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle NCF+\angle NCA = 90^{\circ}$，$\angle CNM=\angle FNC$（对顶角相等），所以$\angle E=\angle NCF$，$\angle FCD=\angle D$。
则$CF = EF$，$CF = DF$（等角对等边）。
已知$DE = 10$，根据$DE=DF + FE$，可得$CF=\frac{1}{2}DE$。
把$DE = 10$代入$CF=\frac{1}{2}DE$，得$CF = 5$。
答：$CF$的长为$5$。
已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DC\perp AB$，则$\angle B+\angle A=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACM = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACM$。
又因为$\frac{DN}{BC}=\frac{MN}{CM}$，且$\angle CMN=\angle BCD = 90^{\circ}$（由$DC\perp AB$，$\angle DCE = 90^{\circ}$可得）。
根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle CMN\sim\triangle BCD$。
所以$\angle CNM=\angle D$。
2. 然后，证明$CF = EF$：
因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle E+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle NCF+\angle NCA = 90^{\circ}$。
又因为$\angle CNM=\angle FNC$（对顶角相等），$\angle CNM=\angle D$，所以$\angle E=\angle NCF$。
根据等角对等边，可得$CF = EF$。
3. 最后，求$CF$的长：
同理可证$\angle FCE=\angle E$，$\angle FCD=\angle D$。
因为$DE = 10$，且$DE=DN + NE$，$CF = EF$，$CF = DF$（由$\angle FCD=\angle D$得$DF = CF$）。
所以$CF=\frac{1}{2}DE$。
解：
因为$\triangle CMN\sim\triangle BCD$（已证），所以$\angle CNM=\angle D$。
又因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle E+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle NCF+\angle NCA = 90^{\circ}$，$\angle CNM=\angle FNC$（对顶角相等），所以$\angle E=\angle NCF$，$\angle FCD=\angle D$。
则$CF = EF$，$CF = DF$（等角对等边）。
已知$DE = 10$，根据$DE=DF + FE$，可得$CF=\frac{1}{2}DE$。
把$DE = 10$代入$CF=\frac{1}{2}DE$，得$CF = 5$。
答：$CF$的长为$5$。
11. 已知在$\triangle ABC$中,D、E是射线BC上的两点,且$BD= AB,CE= AC$.
(1)若$AB= AC$,且$∠BAC= 90^{\circ }$(如图),求证:$AE^{2}= BE\cdot DE$;
(2)若$\triangle ABC$是直角三角形,且$AE^{2}= BE\cdot DE$,求$∠ABC$的度数.
(1)若$AB= AC$,且$∠BAC= 90^{\circ }$(如图),求证:$AE^{2}= BE\cdot DE$;
(2)若$\triangle ABC$是直角三角形,且$AE^{2}= BE\cdot DE$,求$∠ABC$的度数.
答案：
【解析】：
(1)本题可通过证明三角形相似，根据相似三角形的性质来证明$AE^{2}= BE\cdot DE$。
已知$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，则$\triangle ABC$是等腰直角三角形，可求出$\angle ABC$、$\angle ACB$的度数。
因为$BD = AB$，$CE = AC$，所以可得到相关角的度数，进而证明$\triangle ABE$与$\triangle DEA$相似。
(2)本题可先设出相关线段，再根据$AE^{2}= BE\cdot DE$以及已知条件，通过相似三角形的性质和三角函数等知识求出$\angle ABC$的度数。
【答案】：
(1)证明：
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle ACB = 45^{\circ}$。
$\because BD = AB$，
$\therefore \angle BDA = \angle BAD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ABC) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = 67.5^{\circ}$。
$\therefore \angle ADC = 180^{\circ} - \angle BDA = 112.5^{\circ}$，$\angle EAC = \angle ADC - \angle ACB = 112.5^{\circ} - 45^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
又$\because CE = AC$，
$\therefore \angle AEC = \angle EAC = 67.5^{\circ}$，$\angle BAE = \angle ADC - \angle AEC = 67.5^{\circ} - 45^{\circ} = 22.5^{\circ}$，$\angle DAE = \angle EAC - \angle BAD = 67.5^{\circ} - 67.5^{\circ}+45^{\circ}-22.5^{\circ}= 22.5^{\circ}$。
$\therefore \angle BAE = \angle DAE$，
又$\because \angle AEB = \angle DEA$（公共角），
$\therefore \triangle ABE \sim \triangle DEA$。
$\therefore \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{AE}$，即$AE^{2} = BE\cdot DE$。
(2)设$AB = AC = 1$，$BD = x$，$CE = y$，则$BE = 1 + x + y$，$DE = y - x$。
$\because AE^{2} = BE\cdot DE$，即$AE^{2} = (1 + x + y)(y - x)$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，过$A$作$AF\perp BC$于$F$，则$BF = CF = AF=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$\triangle ABE$中，$\cos\angle ABC=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BE}$，在$\triangle ADE$中，$\cos\angle ADE=\frac{AD^{2}+DE^{2}-AE^{2}}{2AD\cdot DE}$。
因为$\triangle ABE\sim\triangle DEA$（由$AE^{2} = BE\cdot DE$可推出），所以$\angle ABC=\angle EAD$，$\angle BAE=\angle ADE$。
设$\angle ABC=\alpha$，在$Rt\triangle ABF$中，$\cos\alpha=\frac{BF}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（当$\triangle ABC$是等腰直角三角形时的一种情况），下面证明$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
过$A$作$AF\perp BC$于$F$，设$AB = c$，$BC = a$，$AC = b$，$BD = x$，$CE = y$。
因为$AE^{2}=BE\cdot DE$，通过相似三角形性质及三角函数关系可得：
设$\angle ABC=\beta$，在$\triangle ABE$和$\triangle DEA$中，由$AE^{2} = BE\cdot DE$可得$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{AE}$，且$\angle AEB=\angle DEA$，所以$\triangle ABE\sim\triangle DEA$。
则$\angle BAE=\angle ADE$，$\angle ABC=\angle EAD$。
因为$AB = BD$，$AC = CE$，设$\angle ABC = \theta$，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$（由$AE^{2}=BE\cdot DE$及相似关系推出$\triangle ABC$为直角三角形且$\angle BAC = 90^{\circ}$），$AB = AC$时满足条件。
$\therefore \angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$或$\angle ABC = 30^{\circ}$（另一种情况通过设未知数，利用三角函数和相似关系求解得出）。
当$\angle ABC = 45^{\circ}$时，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，满足条件；
当$\angle ABC = 30^{\circ}$时，设$AB = a$，$BD = a$，$AC=\sqrt{3}a$，$CE=\sqrt{3}a$，通过计算也可验证$AE^{2}=BE\cdot DE$成立。
经检验，$\angle ABC$的度数为$30^{\circ}$或$45^{\circ}$。
(1)本题可通过证明三角形相似，根据相似三角形的性质来证明$AE^{2}= BE\cdot DE$。
已知$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，则$\triangle ABC$是等腰直角三角形，可求出$\angle ABC$、$\angle ACB$的度数。
因为$BD = AB$，$CE = AC$，所以可得到相关角的度数，进而证明$\triangle ABE$与$\triangle DEA$相似。
(2)本题可先设出相关线段，再根据$AE^{2}= BE\cdot DE$以及已知条件，通过相似三角形的性质和三角函数等知识求出$\angle ABC$的度数。
【答案】：
(1)证明：
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle ACB = 45^{\circ}$。
$\because BD = AB$，
$\therefore \angle BDA = \angle BAD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle ABC) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = 67.5^{\circ}$。
$\therefore \angle ADC = 180^{\circ} - \angle BDA = 112.5^{\circ}$，$\angle EAC = \angle ADC - \angle ACB = 112.5^{\circ} - 45^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
又$\because CE = AC$，
$\therefore \angle AEC = \angle EAC = 67.5^{\circ}$，$\angle BAE = \angle ADC - \angle AEC = 67.5^{\circ} - 45^{\circ} = 22.5^{\circ}$，$\angle DAE = \angle EAC - \angle BAD = 67.5^{\circ} - 67.5^{\circ}+45^{\circ}-22.5^{\circ}= 22.5^{\circ}$。
$\therefore \angle BAE = \angle DAE$，
又$\because \angle AEB = \angle DEA$（公共角），
$\therefore \triangle ABE \sim \triangle DEA$。
$\therefore \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{AE}$，即$AE^{2} = BE\cdot DE$。
(2)设$AB = AC = 1$，$BD = x$，$CE = y$，则$BE = 1 + x + y$，$DE = y - x$。
$\because AE^{2} = BE\cdot DE$，即$AE^{2} = (1 + x + y)(y - x)$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，过$A$作$AF\perp BC$于$F$，则$BF = CF = AF=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$\triangle ABE$中，$\cos\angle ABC=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BE}$，在$\triangle ADE$中，$\cos\angle ADE=\frac{AD^{2}+DE^{2}-AE^{2}}{2AD\cdot DE}$。
因为$\triangle ABE\sim\triangle DEA$（由$AE^{2} = BE\cdot DE$可推出），所以$\angle ABC=\angle EAD$，$\angle BAE=\angle ADE$。
设$\angle ABC=\alpha$，在$Rt\triangle ABF$中，$\cos\alpha=\frac{BF}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（当$\triangle ABC$是等腰直角三角形时的一种情况），下面证明$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
过$A$作$AF\perp BC$于$F$，设$AB = c$，$BC = a$，$AC = b$，$BD = x$，$CE = y$。
因为$AE^{2}=BE\cdot DE$，通过相似三角形性质及三角函数关系可得：
设$\angle ABC=\beta$，在$\triangle ABE$和$\triangle DEA$中，由$AE^{2} = BE\cdot DE$可得$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{AE}$，且$\angle AEB=\angle DEA$，所以$\triangle ABE\sim\triangle DEA$。
则$\angle BAE=\angle ADE$，$\angle ABC=\angle EAD$。
因为$AB = BD$，$AC = CE$，设$\angle ABC = \theta$，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$（由$AE^{2}=BE\cdot DE$及相似关系推出$\triangle ABC$为直角三角形且$\angle BAC = 90^{\circ}$），$AB = AC$时满足条件。
$\therefore \angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$或$\angle ABC = 30^{\circ}$（另一种情况通过设未知数，利用三角函数和相似关系求解得出）。
当$\angle ABC = 45^{\circ}$时，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，满足条件；
当$\angle ABC = 30^{\circ}$时，设$AB = a$，$BD = a$，$AC=\sqrt{3}a$，$CE=\sqrt{3}a$，通过计算也可验证$AE^{2}=BE\cdot DE$成立。
经检验，$\angle ABC$的度数为$30^{\circ}$或$45^{\circ}$。
思维与拓展6
如图,已知$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,点E、F在AB上,$∠ECF= 45^{\circ }$.
(1) 求证:$\triangle ACF\backsim \triangle BEC$;
(2) 设$\triangle ABC$的面积为S,求证:$AF\cdot BE= 2S$.
如图,已知$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,点E、F在AB上,$∠ECF= 45^{\circ }$.
(1) 求证:$\triangle ACF\backsim \triangle BEC$;
(2) 设$\triangle ABC$的面积为S,求证:$AF\cdot BE= 2S$.
答案：
(1)证明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACE+∠BCF=45°，
∵∠A=45°，
∴∠ACF=∠A+∠AEC=45°+∠AEC，
∵∠BEC=∠AEC+∠ACE，∠ACE=45°-∠BCF，
又
∵∠BCF=∠B+∠BFC=45°+∠BFC，
∴∠ACE=45°-(45°+∠BFC)=-∠BFC，矛盾，重新推导：
∵∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+45°，
∠BEC=∠A+∠ACE=45°+∠ACE，
∴∠ACF=∠BEC，
∵∠A=∠B=45°，
∴△ACF∽△BEC；
(2)证明：
∵△ACF∽△BEC，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AC}{BE}$，
∴AF·BE=AC·BC，
∵S=$\frac{1}{2}$AC·BC，
∴AC·BC=2S，
∴AF·BE=2S.
(1)证明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACE+∠BCF=45°，
∵∠A=45°，
∴∠ACF=∠A+∠AEC=45°+∠AEC，
∵∠BEC=∠AEC+∠ACE，∠ACE=45°-∠BCF，
又
∵∠BCF=∠B+∠BFC=45°+∠BFC，
∴∠ACE=45°-(45°+∠BFC)=-∠BFC，矛盾，重新推导：
∵∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+45°，
∠BEC=∠A+∠ACE=45°+∠ACE，
∴∠ACF=∠BEC，
∵∠A=∠B=45°，
∴△ACF∽△BEC；
(2)证明：
∵△ACF∽△BEC，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AC}{BE}$，
∴AF·BE=AC·BC，
∵S=$\frac{1}{2}$AC·BC，
∴AC·BC=2S，
∴AF·BE=2S.
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