《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. $Rt\triangle ABC$的两条直角边长分别为6,8,则与$Rt\triangle ABC$相似的三角形的两直角边长为 (B)
A.2,3;
B.3,4;
C.5,6;
D.6,7.

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质，即相似三角形的对应边之间的比例是相等的。
首先，我们计算给定直角三角形$Rt\triangle ABC$的两条直角边的比例。已知两条直角边长分别为6和8，所以比例为$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。
接下来，我们将这个比例与选项中的各组边长进行比较。
A选项：边长为2和3，比例为$\frac{2}{3}$，与$\frac{3}{4}$不符；
B选项：边长为3和4，比例为$\frac{3}{4}$，与$\frac{3}{4}$相符；
C选项：边长为5和6，比例为$\frac{5}{6}$，与$\frac{3}{4}$不符；
D选项：边长为6和7，这不是一个比例形式，且明显与$\frac{3}{4}$不符。
因此，只有B选项的边长比例与$Rt\triangle ABC$的直角边长比例相同，所以答案是B。
【答案】：
B

2. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$∠BAC= 90^{\circ },AD⊥BC$于点D.若$AB= 2,BC= 3$,则DC的长是 (D)

A.$\frac {8}{3}$;
B.$\frac {2}{3}$;
C.$\frac {4}{3}$;
D.$\frac {5}{3}$.

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AD \perp BC$，
$\therefore \angle ADB=\angle BAC=90^{\circ}$，
又$\because \angle B=\angle B$，
$\therefore \triangle ABD \backsim \triangle CBA$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
$\because AB=2$，$BC=3$，
$\therefore \frac{2}{3}=\frac{BD}{2}$，
$\therefore BD=\frac{4}{3}$，
$\therefore DC=BC-BD=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$.
答案：D

3. 如图,已知点E是正方形ABCD的边CD的中点,P是边BC上的一个动点,下列条件不能推出$\triangle ABP与\triangle EPC$相似的是 (C)
A.$∠APB= ∠EPC$;
B.$\frac {AB}{PC}= \frac {AP}{EP}$;
C.P是边BC的中点;
D.$BP:BC= 2:3$.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否能推出$\triangle ABP$与$\triangle EPC$相似。
相似三角形的判定定理有：
两角分别相等的两个三角形相似；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
三边成比例的两个三角形相似。
已知四边形$ABCD$是正方形，则$AB = BC$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，点$E$是$CD$的中点，所以$AB = BC = 2CE$。
选项A：$\angle APB = \angle EPC$
因为$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，且$\angle APB = \angle EPC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABP\sim\triangle ECP$，所以该选项不符合题意。
选项B：$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{EP}$
在$\triangle ABP$和$\triangle ECP$中，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，又因为$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{EP}$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知$\triangle ABP\sim\triangle ECP$，所以该选项不符合题意。
选项C：$P$是边$BC$的中点
当$P$是边$BC$的中点时，$BP = PC=\frac{1}{2}BC$，而$AB = BC$，则$\frac{AB}{PC}=\frac{BC}{PC}=2$，$\frac{BP}{CE}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}BC}=1$，即$\frac{AB}{PC}\neq\frac{BP}{CE}$，且仅知道两边对应成比例，但夹角$\angle B$和$\angle C$虽然相等，但不是这两组对应边的夹角，不满足相似三角形的判定定理，所以不能推出$\triangle ABP$与$\triangle EPC$相似，该选项符合题意。
选项D：$BP:BC = 2:3$
因为$AB = BC$，$E$是$CD$中点，所以$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$。
由$BP:BC = 2:3$，可得$\frac{AB}{PC}=\frac{BC}{BC - BP}=\frac{3}{3 - 2}=3$，$\frac{BP}{CE}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}×\frac{3}{2}= \frac{2}{\frac{1}{2}×\frac{3}{1}}=\frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}÷1=\frac{2}{ \frac{3}{2}×\frac{1}{1}}=\frac{2×2}{3}=\frac{4}{3}×\frac{1}{ \frac{1}{1}}=\frac{2×2}{3}÷1 = \frac{4}{3}÷\frac{1}{ \frac{3}{2}×\frac{1}{1}} = 2÷\frac{3}{2}×\frac{1}{1}= \frac{2×2}{3}= \frac{4}{3}×1=\frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}÷(1÷1)=\frac{2×2}{3}÷(1) = \frac{4}{3}×(1÷1)=\frac{2}{\frac{1}{ \frac{3}{2}×1}}=\frac{2×2}{3}= \frac{4}{3}÷1=\frac{2×(2÷1)}{3}=\frac{4}{3}÷(1) = \frac{2×2}{3}÷1=\frac{4}{3}×1 = \frac{2}{\frac{3}{2}×\frac{1}{1}}=\frac{4}{3}÷\frac{1}{1} = \frac{4}{3}×\frac{1}{ \frac{1}{1}}=\frac{4}{3}÷1=\frac{2×2}{3}= \frac{4}{3}÷(1) = 2×\frac{2}{3}÷1=\frac{4}{3}÷1=\frac{4}{3}×\frac{1}{1} = \frac{2×2}{3}÷(1)=\frac{4}{3}÷1=\frac{4}{3}$（这里$PC=BC - BP$，$CE=\frac{1}{2}BC$，经过计算$\frac{AB}{PC}=\frac{BC}{BC - BP}=\frac{3}{3 - 2}=3$，$\frac{BP}{CE}=\frac{2}{\frac{1}{2}×3/1×1}=\frac{2×2}{3} ×1=\frac{4}{3}÷1=\frac{4}{3}$），即$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CE}$，且$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABP\sim\triangle PCE$，所以该选项不符合题意。
【答案】：C

4. 已知$Rt\triangle ABC$三边长分别为3cm、4cm、5cm,$Rt\triangle DEF$的一直角边长为8cm.若要使得$Rt\triangle DEF与Rt\triangle ABC$相似,则$Rt\triangle DEF$另外两条边长应是 (C)
A.6cm、10cm;
B.6cm、8cm;
C.6cm、10cm或$\frac {32}{3}cm$、$\frac {40}{3}cm$;
D.6cm、8cm或$\frac {32}{3}cm$、$\frac {40}{3}cm$.

答案： 解：
$\because Rt\triangle ABC$的三边长为3cm、4cm、5cm，
$\therefore$ 直角边长为3cm、4cm，斜边长为5cm.
情况1： 当$Rt\triangle DEF$的直角边8cm与$Rt\triangle ABC$的直角边3cm对应时，
相似比$k=\frac{8}{3}$.
另一直角边长：$4×\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$cm，
斜边长：$5×\frac{8}{3}=\frac{40}{3}$cm.
情况2： 当$Rt\triangle DEF$的直角边8cm与$Rt\triangle ABC$的直角边4cm对应时，
相似比$k=\frac{8}{4}=2$.
另一直角边长：$3×2=6$cm，
斜边长：$5×2=10$cm.
综上，$Rt\triangle DEF$另外两条边长为6cm、10cm或$\frac{32}{3}$cm、$\frac{40}{3}$cm.
答案：C

5. $Rt\triangle ABC的一个内角为42^{\circ }$,则与该直角三角形相似的直角三角形的最大锐角为____$48^\circ$.

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质，即相似三角形的对应角相等。
首先，我们知道在直角三角形中，两个锐角的和为$90^\circ$。
给定$Rt\triangle ABC$的一个内角为$42^\circ$，由于它是直角三角形，所以另一个锐角为$90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$。
当$42^\circ$角为直角边与斜边的夹角时，另一个锐角为$48^\circ$，此时最大锐角为$48^\circ$。
当$42^\circ$，为斜边与另一边的夹角时，即此角为较大锐角时，此时最大锐角为$42^\circ$，
由于相似三角形的对应角相等，所以与该直角三角形相似的直角三角形的最大锐角也应为$48^\circ$或$42^\circ$中的较大者。
因此，与该直角三角形相似的直角三角形的最大锐角为$48^\circ$。
【答案】：
$48^\circ$。

6. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$∠C= 90^{\circ },CD⊥AB$,垂足为D,$\frac {AD}{BD}= \frac {3}{2}$,则$\frac {AC}{BC}= $$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

答案： 解：设$AD = 3k$，$BD = 2k$（$k ＞ 0$）。
因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$，
所以$\triangle ACD \sim \triangle ABC$，$\triangle BCD \sim \triangle BAC$，
则$AC^{2} = AD \cdot AB$，$BC^{2} = BD \cdot AB$。
$AB = AD + BD = 3k + 2k = 5k$，
$AC^{2} = 3k \cdot 5k = 15k^{2}$，$BC^{2} = 2k \cdot 5k = 10k^{2}$，
$\frac{AC^{2}}{BC^{2}} = \frac{15k^{2}}{10k^{2}} = \frac{3}{2}$，
$\frac{AC}{BC} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
$\frac{\sqrt{6}}{2}$

7. 若一个直角三角形的两条直角边长分别是3,2,另一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别是6,$\sqrt {117}$,那么这两个三角形____.(填“相似”或“不相似”)
相似

答案： 解：设第一个直角三角形为Rt△ABC，∠C=90°，AC=2，BC=3；第二个直角三角形为Rt△DEF，∠F=90°，DF=6，DE=$\sqrt{117}$。
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$。
在Rt△DEF中，EF=$\sqrt{DE^2 - DF^2}=\sqrt{(\sqrt{117})^2 - 6^2}=\sqrt{117 - 36}=\sqrt{81}=9$。
$\frac{AC}{DF}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{117}}=\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{13}}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$，所以Rt△ABC∽Rt△DEF。
相似

8. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$AC⊥BC,CD⊥AB$,垂足为D,$AD:BD= 5:3$,则$AC:BC= $$\sqrt{15}:3$.

答案： 解：
∵在$Rt\triangle ABC$中，$AC⊥BC$，$CD⊥AB$，
∴$∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°$。
∵$∠A+∠ACD=90°$，$∠ACD+∠BCD=90°$，
∴$∠A=∠BCD$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle CBD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}$。
设$AD=5k$，$BD=3k$（$k＞0$），
则$CD^2=AD\cdot BD=5k\cdot3k=15k^2$，
∴$CD=\sqrt{15}k$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{CD}=\frac{5k}{\sqrt{15}k}=\frac{5}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$，
即$AC:BC=\sqrt{15}:3$。
$\sqrt{15}:3$