《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 若相似$\triangle ABC与\triangle DEF的相似比为1:3$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$的周长之比为 (A)
A.$1:3$;
B.$1:9$;
C.$3:1$;
D.$1:\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察相似三角形的性质，特别是相似比与周长比的关系。
根据相似三角形的定义，如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比值是恒定的，这个比值被称为相似比。
在本题中，已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的相似比为$1:3$。
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的周长之比也等于它们的相似比。
因此，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之比也应该是$1:3$。
【答案】：
A. $1:3$。

2. 如图, 在$\triangle ABC$中, 已知点$D$、$E分别在边AB$、$AC$上,$DE// BC$.若$AE:EC= 1:3$,则$S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE}$等于 ( )D

A.$1:4$;
B.$1:2$;
C.$1:16$;
D.$1:15$.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理得出$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似，再结合相似三角形的性质求出它们的面积比，最后求出$S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE}$的值。
步骤一：证明$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似
已知$DE// BC$，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
步骤二：求出$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的相似比
因为$AE:EC = 1:3$，所以$AE:AC=AE:(AE + EC)=1:(1 + 3)=1:4$。
由于$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可知$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的相似比$k = \frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$。
步骤三：求出$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的面积比
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
已知$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的相似比$k = \frac{1}{4}$，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$。
步骤四：求出$S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE}$的值
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADE}+S_{四边形DBCE}$，设$S_{\triangle ADE}=x$，则$S_{\triangle ABC}=16x$，那么$S_{四边形DBCE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}=16x - x = 15x$。
所以$S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE}=x:15x = 1:15$。
【答案】：D

3. 在梯形$ABCD$中,已知$AD// BC$,$AC与BD相交于点O$.若$AD:BC= 1:3$,下列结论不正确的是 (C)
A.$S_{\triangle BOC}= 3S_{\triangle COD}$;
B.$S_{\triangle AOB}= 3S_{\triangle AOD}$;
C.$S_{\triangle BOC}= 3S_{\triangle AOD}$;
D.$S_{\triangle AOB}= S_{\triangle DOC}$.

答案： 【解析】：
首先，由于$AD // BC$，根据平行线的性质，我们知道$\triangle AOD$与$\triangle COB$是相似三角形。
再根据题目给出的$AD:BC = 1:3$，可以得出相似三角形的边长比为$1:3$。
接下来，利用相似三角形的面积比公式，即面积比等于边长比的平方，我们有
$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COB}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$
这意味着$S_{\triangle COB} = 9S_{\triangle AOD}$。
同时，由于$\triangle AOB$和$\triangle AOD$在$AC$上的高是相同的，因此面积比等于底边比，即
$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{OB}{OD} = 3$
所以$S_{\triangle AOB} = 3S_{\triangle AOD}$。
同理，$S_{\triangle BOC} = 3S_{\triangle COD}$。
对于$\triangle AOB$和$\triangle DOC$，由于它们是相似的，并且边长比为$1:3$，所以面积相等，即$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC}$。
现在我们可以判断给出的选项：
A. $S_{\triangle BOC} = 3S_{\triangle COD}$ 是正确的，因为$S_{\triangle BOC} = 9S_{\triangle AOD}$ 并且 $S_{\triangle COD} = 3S_{\triangle AOD}$。
B. $S_{\triangle AOB} = 3S_{\triangle AOD}$ 是正确的。
C. $S_{\triangle BOC} = 3S_{\triangle AOD}$ 是不正确的，因为实际上$S_{\triangle BOC} = 9S_{\triangle AOD}$。
D. $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC}$ 是正确的。
【答案】：
C

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$\angle A= 30^{\circ}$,$CD\perp AB于点D$,则$\triangle BCD与\triangle ABC$的周长之比为 (A)

A.$1:2$;
B.$1:3$;
C.$1:4$;
D.$1:5$.

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=60^{\circ}$，$BC=\frac{1}{2}AB$。
$\because CD\perp AB$，
$\therefore \angle CDB=90^{\circ}=\angle ACB$，
又$\angle B=\angle B$，
$\therefore \triangle BCD\sim\triangle BAC$。
$\because$在$Rt\triangle BCD$中，$\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD=30^{\circ}$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}AB$。
$\therefore \triangle BCD$与$\triangle BAC$的相似比为$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \triangle BCD$与$\triangle ABC$的周长之比为$1:2$。
答案：A

5. 在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AB= 2DE$,$AC= 2DF$,$\angle A= \angle D$,如果$\triangle ABC的周长是16$,面积是$12$,那么$\triangle DEF$的周长、面积依次为 (A)
A.$8,3$;
B.$8,6$;
C.$4,3$;
D.$4,6$.

答案： 【解析】：
本题主要考查相似三角形的性质。
首先，根据题目条件，我们有 $AB = 2DE$，$AC = 2DF$，且 $\angle A = \angle D$。
由于这两边成比例（即 $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2$）且夹角相等（即 $\angle A = \angle D$），
根据相似三角形的定义和判定，我们可以得出 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，且相似比为 $2:1$。
接下来，我们利用相似三角形的性质来求解 $\triangle DEF$ 的周长和面积。
根据相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于其相似比。
因此，$\triangle ABC$ 的周长与 $\triangle DEF$ 的周长之比为 $2:1$。
已知 $\triangle ABC$ 的周长是 $16$，所以 $\triangle DEF$ 的周长为 $\frac{16}{2} = 8$。
同样地，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于其相似比的平方。
因此，$\triangle ABC$ 的面积与 $\triangle DEF$ 的面积之比为 $4:1$（因为 $2^2 = 4$）。
已知 $\triangle ABC$ 的面积是 $12$，所以 $\triangle DEF$ 的面积为 $\frac{12}{4} = 3$。
综上所述，$\triangle DEF$ 的周长为 $8$，面积为 $3$。
【答案】：A

6. 若两个相似三角形对应高之比为$1:4$,则它们的面积之比为$1:16$.

答案： 【解析】：
本题考查相似三角形的性质，特别是相似三角形面积之比与对应边（或高）之比的平方关系。
设两个相似三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，且它们的对应高之比为$1:4$。
根据相似三角形的性质，对应边（或高）之比为相似比，记作$k$，则$k = \frac{1}{4}$。
相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = k^2$。
将$k = \frac{1}{4}$代入上式，得$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$。
【答案】：
$1:16$

7. 已知$\triangle ABC和\triangle DEF$相似(点$A与点D$对应,点$B与点E$对应,点$C与点F$对应).如果$\frac{AB}{DE}= \frac{3}{2}$,且它们的周长相差$6$,那么$\triangle ABC$的周长为18.

答案： 【解析】：
本题主要考察相似三角形的性质，即相似三角形的对应边之间的比例关系以及它们的周长之间的比例关系。
设$\triangle ABC$的周长为$P_{\bigtriangleup ABC}$，$\triangle DEF$的周长为$P_{\bigtriangleup DEF}$。
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{3}{2}$。
由此，可以得出相似三角形的周长之间的比例关系：
$\frac{P_{\bigtriangleup ABC}}{P_{\bigtriangleup DEF}} = \frac{3}{2}$。
即：
$P_{\bigtriangleup ABC} = \frac{3}{2}P_{\bigtriangleup DEF}$。
根据题目条件，两个三角形的周长相差6，可以得出：
$P_{\bigtriangleup ABC} - P_{\bigtriangleup DEF} = 6$。
将$P_{\bigtriangleup ABC} = \frac{3}{2}P_{\bigtriangleup DEF}$代入$P_{\bigtriangleup ABC} - P_{\bigtriangleup DEF} = 6$，解这个方程，得到：
$\frac{3}{2}P_{\bigtriangleup DEF} - P_{\bigtriangleup DEF} = 6$。
$\frac{1}{2}P_{\bigtriangleup DEF} = 6$。
$P_{\bigtriangleup DEF} = 12$。
最后，代入$P_{\bigtriangleup DEF} = 12$到$P_{\bigtriangleup ABC} = \frac{3}{2}P_{\bigtriangleup DEF}$，得到：
$P_{\bigtriangleup ABC} = \frac{3}{2} × 12 = 18$。
【答案】：
18。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,已知点$D$、$E分别在AB$、$AC$上,$\angle AED= \angle B$.如果$AE= 2$,$\triangle ADE的面积为1$,四边形$BCED的面积为8$,那么边$AB$的长为6.

答案： 【解析】：
本题主要考查了相似三角形的判定与性质。
已知$\triangle ADE$的面积为$1$，四边形$BCED$的面积为$8$，
所以$\triangle ABC$的面积为：$1+8=9$。
因为$\angle AED=\angle B$且$\angle A=\angle A$，
根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两个角分别对应相等，‌那么这两个三角形相似，
所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
有$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2$，
代入已知的面积值，得到$(\frac{AE}{AB})^2=\frac{1}{9}$，
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$或$\frac{AE}{AB}=-\frac{1}{3}$(比例不能为负，舍去)。
已知$AE=2$，
所以可以求出$AB$的长度：
$AB=3× AE=3× 2=6$。
【答案】：
$6$。

9. 如图,$\triangle ABC的重心为G$,$AG的延长线交BC于点D$,过点$G作GF// AC交BC于点F$,则$S_{\triangle DGF}:S_{\triangle ABC}= $1:18.

答案： 解：
∵G是△ABC的重心，AD是中线，
∴D为BC中点，AG:GD=2:1，即GD:AD=1:3。
∵GF//AC，
∴△DGF∽△DAC，相似比为GD:AD=1:3。
∴S△DGF:S△DAC=(1/3)²=1/9。
∵D为BC中点，
∴S△DAC=1/2S△ABC。
∴S△DGF=1/9S△DAC=1/9×1/2S△ABC=1/18S△ABC。
故S△DGF:S△ABC=1:18。
答案：1:18