《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

8. 如图,已知点$D$、$E分别是边AC和AB$上的中点,设$\overrightarrow{BO}= \vec{a}$,$\overrightarrow{OC}= \vec{b}$,则：
(1)$\overrightarrow{BC}= $$\vec{a} + \vec{b}$；(结果用$\vec{a}$、$\vec{b}$来表示)
(2)$\overrightarrow{ED}= $$\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.(结果用$\vec{a}$、$\vec{b}$来表示)

答案： 【解析】：本题主要考查向量的加减法运算。
(1) 求$\overrightarrow{BC}$：
根据向量的三角形法则，有$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}$。
已知$\overrightarrow{BO} = \vec{a}$，$\overrightarrow{OC} = \vec{b}$，代入上式得：$\overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$。
(2) 求$\overrightarrow{ED}$：
首先，由于点$D$、$E$分别是边$AC$和$AB$上的中点，根据中位线的性质，知道$ED$是$\bigtriangleup ABC$的中位线，所以$\overrightarrow{ED}$与$\overrightarrow{BC}$平行，且$\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。
由（1）知$\overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$，代入上式得：$\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$。
【答案】：
(1)$\overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$；
(2)$\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$。

9. 如图,在平行四边形$ABCD$中,已知$E$、$F分别是AB$、$CD$的中点,记$\overrightarrow{AB}= \vec{a}$,$\overrightarrow{AD}= \vec{b}$,用含$\vec{a}$、$\vec{b}的式子表示向量\overrightarrow{AF}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的基本定理及向量的加减法运算。
在平行四边形$ABCD$中，已知$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$F$是$CD$的中点。
首先，表示向量$\overrightarrow{DF}$，
由于$F$是$CD$的中点，且$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}$（因为$AB$和$CD$是平行四边形的对边，所以它们的向量相等），
所以$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\vec{a}$，
接着，利用向量的加法运算表示$\overrightarrow{AF}$，
即$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$，
将已知的向量代入上式，得到$\overrightarrow{AF}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$，
也可以表示为$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$。
【答案】：
$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$。

10. 在梯形$ABCD$中,已知$AB// CD$,$CD= 2AB$,$M$、$N分别是腰AD$、$BC$的中点.若$\overrightarrow{BA}= \vec{a}$,用$\vec{a}表示\overrightarrow{MN}$.

答案： 解：
因为 $AB // CD$，$\overrightarrow{BA} = \vec{a}$，所以 $\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$。
又因为 $CD = 2AB$，且 $AB // CD$，所以 $\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB} = -2\vec{a}$，即 $\overrightarrow{CD} = 2\vec{a}$。
连接 $AC$，在 $\triangle ADC$ 中，$M$ 是 $AD$ 中点，所以 $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$？（修正：向量中点公式，$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）
正确步骤：
在梯形 $ABCD$ 中，$M$、$N$ 分别为 $AD$、$BC$ 中点，根据梯形中位线性质，$MN // AB // CD$，且 $MN = \frac{1}{2}(AB + CD)$。
因为 $CD = 2AB$，设 $AB = |\vec{a}|$，则 $CD = 2|\vec{a}|$，所以 $MN = \frac{1}{2}(|\vec{a}| + 2|\vec{a}|) = \frac{3}{2}|\vec{a}|$。
方向上，$\overrightarrow{BA} = \vec{a}$，则 $\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$，$MN$ 与 $AB$ 同向，故 $\overrightarrow{MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{2}(-\vec{a}) = -\frac{3}{2}\vec{a}$？（修正：中位线方向与 $AB$ 一致，$\overrightarrow{MN}$ 应与 $\overrightarrow{AB}$ 同向，即与 $\vec{a}$ 反向）
最终：$\overrightarrow{MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{2}(-\vec{a}) = -\frac{3}{2}\vec{a}$
答案：$\overrightarrow{MN} = -\frac{3}{2}\vec{a}$