《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

12. 若$\frac{a}{2}= \frac{b}{3}= \frac{c}{5}$,且$a + b + c = 15$,则$a= $3.

答案： 解：设$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = k$，则$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 5k$。
因为$a + b + c = 15$，所以$2k + 3k + 5k = 15$，即$10k = 15$，解得$k = 1.5$。
所以$a = 2k = 2×1.5 = 3$。
3

13. 已知$x:y:z = 3:4:5$,且$x - y + z = 8$,求$x$,$y$,$z$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查比例线段的性质以及代数方程的解法。
根据比例关系$x:y:z = 3:4:5$，我们可以设$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 5k$，其中$k$是一个公共比例系数。
利用给定的条件$x - y + z = 8$，代入$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 5k$，可以得到一个关于$k$的一元一次方程。
解这个方程，我们可以得到$k$的值。
将求得的$k$值代入$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 5k$，即可求出$x$，$y$，$z$的值。
【答案】：
解：
根据比例关系，设$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 5k$。
代入$x - y + z = 8$，得到：
$3k - 4k + 5k = 8$，
即$4k = 8$，
解得$k = 2$。
所以，$x = 3k = 3 × 2 = 6$，
$y = 4k = 4 × 2 = 8$，
$z = 5k = 5 × 2 = 10$。
故$x = 6$，$y = 8$，$z = 10$。

14. 已知线段$x$,$y$.
(1)当$\frac{x + 3y}{x - y}= \frac{3}{2}$时,求$\frac{x}{y}$的值；
(2)当$\frac{x + 3y}{x - y}= \frac{x}{y}$时,求$\frac{x}{y}$的值.

答案：
(1)解：由题意，得$2(x + 3y)=3(x - y)$
$2x + 6y=3x - 3y$
$6y + 3y=3x - 2x$
$9y=x$
$\frac{x}{y}=9$
(2)解：设$\frac{x}{y}=k$，则$x=ky$
代入$\frac{x + 3y}{x - y}= \frac{x}{y}$，得$\frac{ky + 3y}{ky - y}=k$
$\frac{k + 3}{k - 1}=k$
$k(k - 1)=k + 3$
$k^2 - k - k - 3=0$
$k^2 - 2k - 3=0$
$(k - 3)(k + 1)=0$
$k_1=3$，$k_2=-1$
即$\frac{x}{y}=3$或$\frac{x}{y}=-1$

15. 如图,已知$\frac{AB}{AE}= \frac{DC}{DF}$.
求证：(1)$\frac{EB}{AE}= \frac{FC}{DF}$；
(2)$\frac{AB}{EB}= \frac{DC}{FC}$.

答案： 【解析】：
本题可根据已知条件$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$，通过比例的性质来证明两个结论。
（1）证明$\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$：
由$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$，根据比例的性质，在等式两边同时减去$1$，即$\frac{AB - AE}{AE}=\frac{DC - DF}{DF}$。
因为$AB - AE = EB$，$DC - DF = FC$，所以可得$\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$。
（2）证明$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$：
由（1）已证得$\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$，根据比例的性质，交叉相乘可得$EB× DF = AE× FC$。
由已知$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$，交叉相乘可得$AB× DF = AE× DC$。
将$EB× DF = AE× FC$变形为$\frac{EB}{FC}=\frac{AE}{DF}$，结合$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DF}$（由$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$交叉相乘得到），可得$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
【答案】：
证明：
(1)
∵$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$，
∴$\frac{AB - AE}{AE}=\frac{DC - DF}{DF}$，
∵$AB - AE = EB$，$DC - DF = FC$，
∴$\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$。
(2)由
(1)知$\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$，
∴$EB× DF = AE× FC$，
∵$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$，
∴$AB× DF = AE× DC$，
∴$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。

思维与拓展2
已知非零实数$a$、$b$、$c满足\frac{a + b - c}{c}= \frac{a - b + c}{b}= \frac{-a + b + c}{a}$,且$a + b + c\neq0$,求$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$的值.

答案： 解：设$\frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a} = k$，则：
$a + b - c = kc$，即$a + b = (k + 1)c$；
$a - b + c = kb$，即$a + c = (k + 1)b$；
$-a + b + c = ka$，即$b + c = (k + 1)a$。
三式相加得：$2(a + b + c) = (k + 1)(a + b + c)$。
因为$a + b + c \neq 0$，所以$k + 1 = 2$，即$k = 1$。
则$a + b = 2c$，$a + c = 2b$，$b + c = 2a$。
所以$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc} = \frac{2c \cdot 2a \cdot 2b}{abc} = 8$。
答案：$8$