《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 计算$\tan 30^{\circ }\cdot \cot 30^{\circ }$的结果是 (C)
A.$\sqrt {3}$；
B.$\frac {\sqrt {3}}{3}$；
C.1；
D.$\frac {1}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数的基本性质和特殊角的三角函数值。
根据三角函数的定义，我们知道：
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
因此，对于任意角度$\theta$（且$\sin \theta \neq 0$ 和 $\cos \theta \neq 0$），有：
$\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 1$
特别地，当$\theta = 30^{\circ}$时，上述性质依然成立。
另外，我们也可以直接利用特殊角的三角函数值进行计算：
$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$
所以，
$\tan 30^{\circ} \cdot \cot 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} × \sqrt{3} = 1$
【答案】：C

2. 已知$\triangle ABC$中,$\cos A= \frac {1}{2}$,$\tan B= 1$,则$\triangle ABC$的形状是 (A)
A.锐角三角形；
B.直角三角形；
C.钝角三角形；
D.等腰三角形.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角形的性质以及三角函数的应用。
首先，根据题目给出的$\cos A = \frac{1}{2}$，可以知道在$0^\circ ＜ A ＜ 180^\circ$的范围内，当$\cos A = \frac{1}{2}$时，$A = 60^\circ$。
接着，题目给出$\tan B = 1$，在$0^\circ ＜ B ＜ 180^\circ$的范围内，当$\tan B = 1$时，$B = 45^\circ$。
由于三角形的内角和为$180^\circ$，可以计算出第三个角$C$的度数：
$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$。
现在，已经知道了三角形$\triangle ABC$的三个角分别为$60^\circ$，$45^\circ$和$75^\circ$，都是锐角。
但我们需要判断的是三角形的具体形状，考虑到$A = 60^\circ$和$B = 45^\circ$，这两个角都不是$90^\circ$，也不是等腰三角形的底角（因为等腰三角形的底角是相等的，而这里$A \neq B$），所以$\triangle ABC$不是直角三角形也不是等腰三角形。
然而，我们可以进一步观察到，由于$A$和$B$都是锐角，并且没有两个角相等，所以$\triangle ABC$是一个锐角三角形，但并不是等腰或直角三角形。但在选项中，只有锐角三角形符合我们的判断。
尽管最严格的判断是该三角形为锐角三角形且不是等腰或直角三角形，但根据题目的选项，我们可以确定答案为锐角三角形。
【答案】：
A

3. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$∠C= 90^{\circ }$,$\sin 43^{\circ }\approx 0.6820$,$\cos A\approx 0.6820$,则$∠A$等于 (C)
A.$37^{\circ }$；
B.$43^{\circ }$；
C.$47^{\circ }$；
D.$57^{\circ }$.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数的基本性质。
在直角三角形中，正弦函数和余弦函数有特定的关系，特别是在角度互余的情况下，即两个角的和为$90^\circ$。
已知$\sin 43^\circ \approx 0.6820$，同时知道在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，且$\cos A \approx 0.6820$。
根据三角函数的性质，$\cos A = \sin (90^\circ - A)$。
因此，可以设立等式：$\sin (90^\circ - A) = \sin 43^\circ$。
由于正弦函数在$0^\circ$到$90^\circ$之间是单调递增的，所以可以去除正弦函数，得到：$90^\circ - A = 43^\circ$。
解这个方程，可以得到：$A = 47^\circ$。
【答案】：C. $47^\circ$。

4. 已知锐角$\alpha满足\tan 20^{\circ }\cdot \cot \alpha =1$,则锐角$\alpha$等于 (B)
A.$10^{\circ }$；
B.$20^{\circ }$；
C.$70^{\circ }$；
D.$80^{\circ }$.

答案： 解：因为$\tan 20^{\circ} \cdot \cot \alpha = 1$，且$\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$（$\theta$为锐角），所以$\alpha = 20^{\circ}$。
答案：B

5. 计算：$\sin 30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }=$$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察特殊角的三角函数值。
根据特殊角的三角函数值可知：
$\sin 30^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\cos 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以，可以将这两个值相乘来得到答案：
$\sin 30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ } = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】：
$\frac{\sqrt{2}}{4}$。

6. 在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,若$\cos A= \frac {1}{2}$,则$\sin A= $$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察锐角三角函数值的计算。在直角三角形中，已知一个锐角的余弦值，需要求该锐角的正弦值。
根据三角函数的基本关系，我们知道：
$\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$。
由此，可以推导出：
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$。
题目给出 $\cos A = \frac{1}{2}$，代入上式得：
$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】：
$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

7. 若锐角$A满足2\sin (A-15^{\circ })= \sqrt {3}$,则$∠A= $$75^{\circ}$.

答案： 解：$2\sin (A-15^{\circ })= \sqrt {3}$
$\sin (A-15^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$
因为$∠A$为锐角，所以$0^{\circ}＜∠A＜90^{\circ}$，则$-15^{\circ}＜A-15^{\circ}＜75^{\circ}$
在该范围内，$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以$A-15^{\circ}=60^{\circ}$
$∠A=75^{\circ}$
$75^{\circ}$

8. 已知锐角$A$,且$\cot A= \frac {5}{12}$,则$\sin A= $$\frac{12}{13}$.

答案： 解：设锐角$A$所在的直角三角形中，$\angle A$的邻边为$5k$，对边为$12k$（$k＞0$）。
由勾股定理，斜边为$\sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = 13k$。
$\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$。
$\frac{12}{13}$

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,已知$∠ACB= 90^{\circ }$,$CD⊥AB于点D$,$AC= 2\sqrt {2}$,$AB= 2\sqrt {3}$. 设$∠BCD= \alpha$,那么$\cos \alpha$的值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{3}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
因为$CD\perp AB$，所以$\angle ADC=90^{\circ}$，
则$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，
又因为$\angle ACB=90^{\circ}$，即$\angle ACD+\alpha=90^{\circ}$，
所以$\alpha=\angle A$，
故$\cos\alpha=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
$\frac{\sqrt{6}}{3}$

10. 将矩形$ABCD$(如图)绕点$C按顺时针方向旋转90^{\circ }$,点$A$、$B$、$D分别落在点A_{1}$、$B_{1}$、$D_{1}$处. 如果$AB= 3$,$BC= 4$,那么$∠AA_{1}D_{1}$的正切值是______2.

答案： 解：设矩形 $ABCD$ 中，$B$ 在原点 $(0,0)$，则 $C(4,0)$，$A(0,3)$，$D(4,3)$。
绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^\circ$，旋转后点 $A_1$ 的坐标为：
$A_1(4 + 3, 4 - 0) = (7, 4)$（根据旋转公式：点 $(x,y)$ 绕点 $(a,b)$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 后坐标为 $(a + (y - b), b - (x - a))$）。
点 $D_1$ 的坐标为：
$D_1(4 + 0, 4 - 4) = (4, 0)$。
过 $A$ 作 $AE \perp A_1D_1$ 于 $E$，$A(0,3)$，$A_1(7,4)$，$D_1(4,0)$。
$A_1D_1$ 的斜率为 $\frac{0 - 4}{4 - 7} = \frac{4}{3}$，则 $AE$ 的斜率为 $-\frac{3}{4}$。
直线 $A_1D_1$：$y - 0 = \frac{4}{3}(x - 4)$，即 $4x - 3y - 16 = 0$。
点 $A$ 到 $A_1D_1$ 的距离 $AE = \frac{|4 × 0 - 3 × 3 - 16|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 5$。
$A_1D_1$ 的长度为 $\sqrt{(7 - 4)^2 + (4 - 0)^2} = 5$，则 $E$ 为 $A_1D_1$ 中点 $(\frac{11}{2}, 2)$。
$A_1E = \frac{5}{2}$，$AE = 5$。
在 $\triangle AA_1E$ 中，$\tan \angle AA_1D_1 = \frac{AE}{A_1E} = \frac{5}{\frac{5}{2}} = 2$。
答案：$2$