《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,可推出DE//BC的条件是 (A)
A.$\frac {AB}{AD}= \frac {3}{2},\frac {EC}{AE}= \frac {1}{2}$;
B.$\frac {AD}{AB}= \frac {2}{3},\frac {DE}{BC}= \frac {2}{3}$;
C.$\frac {AD}{AB}= \frac {2}{3},\frac {EC}{AE}= \frac {2}{3}$;
D.$\frac {AD}{AB}= \frac {3}{4},\frac {AE}{EC}= \frac {4}{3}$.

答案： 解：A. 由$\frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}$得$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，则$\frac{BD}{AD}=\frac{AB-AD}{AD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{EC}{AE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BD}{AD}=\frac{EC}{AE}$，根据三角形一边的平行线判定定理推论，可得$DE// BC$；
B. $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，仅对应边成比例不能判定平行；
C. $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$得$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{EC}{AE}=\frac{2}{3}$，$\frac{BD}{AD}\neq\frac{EC}{AE}$，不能判定；
D. $\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$得$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{4}{3}$得$\frac{EC}{AE}=\frac{3}{4}$，$\frac{BD}{AD}\neq\frac{EC}{AE}$，不能判定。
答案：A

2. 如图,已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,下列比例式能判定DE//BC的是(C)
A.$\frac {AD}{AB}= \frac {AE}{EC}$;
B.$\frac {AD}{AB}= \frac {DE}{BC}$;
C.$\frac {AD}{AE}= \frac {AB}{AC}$;
D.$\frac {AD}{DB}= \frac {AE}{AC}$.

答案： 【解析】：本题可根据平行线分线段成比例定理的推论来逐一分析选项。
平行线分线段成比例定理的推论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
选项A：$\frac {AD}{AB}= \frac {AE}{EC}$
在该比例式中，$\frac {AD}{AB}$是$AD$与$AB$的比值，$\frac {AE}{EC}$是$AE$与$EC$的比值，对应线段不成立，不能根据此比例式判定$DE// BC$，所以该选项错误。
选项B：$\frac {AD}{AB}= \frac {DE}{BC}$
此比例式中，$\frac {AD}{AB}$是$AD$与$AB$的比值，$\frac {DE}{BC}$是$DE$与$BC$的比值，对应线段不成立，不能据此判定$DE// BC$，所以该选项错误。
选项C：$\frac {AD}{AE}= \frac {AB}{AC}$
对$\frac {AD}{AE}= \frac {AB}{AC}$进行变形可得$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$，这符合平行线分线段成比例定理的推论，即一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，所以可以判定$DE// BC$，该选项正确。
选项D：$\frac {AD}{DB}= \frac {AE}{AC}$
此比例式中，$\frac {AD}{DB}$是$AD$与$DB$的比值，$\frac {AE}{AC}$是$AE$与$AC$的比值，对应线段不成立，不能根据此比例式判定$DE// BC$，所以该选项错误。
【答案】：C

3. 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 下列条件能够判断有一组对边平行的是 (D)
A.AD:BC= AO:CO;
B.AD:BC= DO:CO;
C.AO:BO= CO:DO;
D.AO:BO= DO:CO.

答案： 证明：若AO:BO=CO:DO，即$\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$，又∠AOD=∠BOC（对顶角相等），则△AOD∽△BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），所以∠OAD=∠OBC（相似三角形对应角相等），因此AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
答案：D

4. 如图,在△ABC中,已知点D、E分别在边BA、CA的延长线上,下列四个选项能判定DE//BC的是 (C)
A.$\frac {AB}{AD}= \frac {BC}{DE}$;
B.$\frac {AB}{AD}= \frac {AE}{AC}$;
C.$\frac {BD}{AB}= \frac {CE}{AC}$;
D.$\frac {AB}{AC}= \frac {AE}{AD}$.

答案： 证明：若DE//BC，则由三角形一边的平行线性质定理推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
A选项：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，非对应线段成比例，不符合。
B选项：$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，与推论$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$不符，错误。
C选项：$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$，可变形为$\frac{AB+AD}{AB}=\frac{AC+AE}{AC}$，即$1+\frac{AD}{AB}=1+\frac{AE}{AC}$，得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，符合推论，正确。
D选项：$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，交叉相乘得$AB\cdot AD=AC\cdot AE$，与$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（即$AD\cdot AC=AB\cdot AE$）不符，错误。
答案：C

5. 在△ABC中,已知D、E分别是边AB、AC上的点,且AD= 3,AB= 8,AE= 6,EC= 10,则BC______DE. (填“平行”或“不平行”)
平行

答案： 【解析】：
本题主要考察三角形的相似性质，特别是当两边对应成比例时，两三角形相似的判定方法。
首先，根据题目给出的信息，我们有$AD=3$, $AB=8$, $AE=6$, $EC=10$。
接着，我们计算两组边的比例：
$\frac{AD}{AB} = \frac{3}{8}$
$\frac{AE}{AC} = \frac{6}{6+10} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
由于$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，并且$\angle BAC$是$\bigtriangleup ADE$和$\bigtriangleup ABC$的公共角，所以根据三角形的相似判定——两边对应成比例且夹角相等，我们可以得出$\bigtriangleup ADE \sim \bigtriangleup ABC$。
由于$\bigtriangleup ADE \sim \bigtriangleup ABC$，根据相似三角形的性质，我们有$DE // BC$。
【答案】：
平行

6. 如图,已知AM:MB= AN:NC= 1:3,则MN:BC= 1:4.

答案： 证明：
∵AM:MB=1:3，
∴AM:AB=AM:(AM+MB)=1:(1+3)=1:4。
∵AN:NC=1:3，
∴AN:AC=AN:(AN+NC)=1:(1+3)=1:4。
在△ABC中，
∵AM/AB=AN/AC=1/4，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC。
∴MN/BC=AM/AB=1/4，即MN:BC=1:4。
1:4

7. 如图,在□ABCD中,已知E是AD延长线上的一点,且点D为AE的黄金分割点,即$AD= \frac {\sqrt {5}-1}{2}AE$,BE交DC于点F. 若$AB= \sqrt {5}+1$,则CF= ______2.

答案： 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD。
∵ AB//CD，
∴ △EDF∽△EAB（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似）。
∴ $\frac{DF}{AB} = \frac{DE}{AE}$。
∵ D为AE的黄金分割点，且$AD = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$，
∴ $DE = AE - AD = AE - \frac{\sqrt{5}-1}{2}AE = \frac{2 - (\sqrt{5}-1)}{2}AE = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}AE$。
∵ $AB = \sqrt{5} + 1$，
∴ $\frac{DF}{\sqrt{5}+1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
解得 $DF = (\sqrt{5}+1) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5} - 5 + 3}{2} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{2} = \sqrt{5} - 1$。
∵ CD = AB = $\sqrt{5} + 1$，
∴ CF = CD - DF = ($\sqrt{5} + 1$) - ($\sqrt{5} - 1$) = 2。
2

8. 如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,AC、BD相交于点O,过O作AD的平行线交AB于点E,交CD于点F. 若AD= 3,BC= 5,则EF= ______$\frac{15}{4}$.

答案： 证明：
∵AD//BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AO}{AC}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，$\frac{OC}{AC}=\frac{5}{8}$。
∵EF//AD，AD//BC，
∴EF//AD//BC。
在△ABC中，
∵EO//BC，
∴$\frac{EO}{BC}=\frac{AO}{AC}=\frac{3}{8}$，
∵BC=5，
∴EO=$\frac{3}{8}×5=\frac{15}{8}$。
在△ADC中，
∵OF//AD，
∴$\frac{OF}{AD}=\frac{OC}{AC}=\frac{5}{8}$，
∵AD=3，
∴OF=$\frac{5}{8}×3=\frac{15}{8}$。
∴EF=EO+OF=$\frac{15}{8}+\frac{15}{8}=\frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$