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1. 已知α是等腰直角三角形的一个锐角,则$sinα$的值为 (
A.$\frac {1}{2}$;
B.$\frac {\sqrt {2}}{2}$;
C.$\frac {\sqrt {3}}{2}$;
D.1.
B
)A.$\frac {1}{2}$;
B.$\frac {\sqrt {2}}{2}$;
C.$\frac {\sqrt {3}}{2}$;
D.1.
答案：
【解析】：
本题考查的是等腰直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值。
在等腰直角三角形中，两个锐角都是$45^\circ$。
题目中给出$\alpha$是等腰直角三角形的一个锐角，因此$\alpha = 45^\circ$。
接下来，需要找出$\sin\alpha$的值。
根据三角函数表或特殊角的三角函数值知识，知道$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因此，$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
本题考查的是等腰直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值。
在等腰直角三角形中，两个锐角都是$45^\circ$。
题目中给出$\alpha$是等腰直角三角形的一个锐角，因此$\alpha = 45^\circ$。
接下来，需要找出$\sin\alpha$的值。
根据三角函数表或特殊角的三角函数值知识，知道$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因此，$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 已知等腰三角形的底边长为10 cm,周长为36 cm,则底角的余弦等于 (
A.$\frac {5}{13}$;
B.$\frac {12}{13}$;
C.$\frac {10}{13}$;
D.$\frac {5}{12}$.
A
)A.$\frac {5}{13}$;
B.$\frac {12}{13}$;
C.$\frac {10}{13}$;
D.$\frac {5}{12}$.
答案：
【解析】：
本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质。
首先，我们需要根据等腰三角形的性质和给定的周长来求出腰长。
设等腰三角形的腰长为 $x$ cm，底边长为 $10$ cm，周长为 $36$ cm。
根据等腰三角形的性质，两腰相等，因此周长可以表示为 $2x + 10 = 36$。
解这个方程，我们得到 $2x = 26$，从而 $x = 13$ cm。
接下来，我们需要求出底角的余弦值。
设等腰三角形为 $\bigtriangleup ABC$，其中 $AB = AC = 13$ cm，$BC = 10$ cm。
作 $AD \perp BC$ 于点 $D$，则 $D$ 为 $BC$ 的中点（等腰三角形的三线合一性质）。
因此，$BD = \frac{BC}{2} = 5$ cm。
在直角三角形 $\bigtriangleup ABD$ 中，已知直角边 $BD = 5$ cm 和斜边 $AB = 13$ cm，我们可以利用余弦的定义来求出底角 $\angle B$ 的余弦值。
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{5}{13}$
【答案】：
A. $\frac{5}{13}$。
本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质。
首先，我们需要根据等腰三角形的性质和给定的周长来求出腰长。
设等腰三角形的腰长为 $x$ cm，底边长为 $10$ cm，周长为 $36$ cm。
根据等腰三角形的性质，两腰相等，因此周长可以表示为 $2x + 10 = 36$。
解这个方程，我们得到 $2x = 26$，从而 $x = 13$ cm。
接下来，我们需要求出底角的余弦值。
设等腰三角形为 $\bigtriangleup ABC$，其中 $AB = AC = 13$ cm，$BC = 10$ cm。
作 $AD \perp BC$ 于点 $D$，则 $D$ 为 $BC$ 的中点（等腰三角形的三线合一性质）。
因此，$BD = \frac{BC}{2} = 5$ cm。
在直角三角形 $\bigtriangleup ABD$ 中，已知直角边 $BD = 5$ cm 和斜边 $AB = 13$ cm，我们可以利用余弦的定义来求出底角 $\angle B$ 的余弦值。
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{5}{13}$
【答案】：
A. $\frac{5}{13}$。
3. 在$△ABC$中,若三边长之比为$a:b:c= 1:\sqrt {3}:2$,则$sinA+tanA$等于 (
A.$\frac {3+2\sqrt {3}}{6}$;
B.$\frac {1}{2}+\sqrt {3}$;
C.$\frac {3\sqrt {3}}{2}$;
D.$\frac {\sqrt {3}+1}{2}$.
A
)A.$\frac {3+2\sqrt {3}}{6}$;
B.$\frac {1}{2}+\sqrt {3}$;
C.$\frac {3\sqrt {3}}{2}$;
D.$\frac {\sqrt {3}+1}{2}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察解直角三角形的知识，包括正弦和正切函数的运用。
首先，根据题目给出的三边长之比 $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$，可以设 $a = x$，$b = \sqrt{3}x$，$c = 2x$，其中 $x ＞ 0$。
由于$a^2+b^2=x^2+3x^2=4x^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理，$\bigtriangleup ABC$是直角三角形，
接下来，利用正弦和正切函数的定义来求解 $\sin A$ 和 $\tan A$。
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$，
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
（这里$a$是$A$的对边，$b$是$A$的邻边，$c$是斜边）
最后，将 $\sin A$ 和 $\tan A$ 的值相加，得到：
$\sin A + \tan A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+2\sqrt{3}}{6}$，
根据这个结果，可以选出答案 A。
【答案】：A.$\frac {3+2\sqrt {3}}{6}$。
本题主要考察解直角三角形的知识，包括正弦和正切函数的运用。
首先，根据题目给出的三边长之比 $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$，可以设 $a = x$，$b = \sqrt{3}x$，$c = 2x$，其中 $x ＞ 0$。
由于$a^2+b^2=x^2+3x^2=4x^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理，$\bigtriangleup ABC$是直角三角形，
接下来，利用正弦和正切函数的定义来求解 $\sin A$ 和 $\tan A$。
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$，
$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
（这里$a$是$A$的对边，$b$是$A$的邻边，$c$是斜边）
最后，将 $\sin A$ 和 $\tan A$ 的值相加，得到：
$\sin A + \tan A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+2\sqrt{3}}{6}$，
根据这个结果，可以选出答案 A。
【答案】：A.$\frac {3+2\sqrt {3}}{6}$。
4. 如图,在矩形ABCD中,已知$DE⊥AC$于点E.设$∠ADE= α$,且$cosα= \frac {3}{5},AB= 4$,则AD的长为 (
A.3;
B.$\frac {20}{3}$;
C.$\frac {16}{3}$;
D.$\frac {16}{5}$.
C
)A.3;
B.$\frac {20}{3}$;
C.$\frac {16}{3}$;
D.$\frac {16}{5}$.
答案：
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4。
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠DEC=90°。
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ADE=∠DCE=α。
在Rt△DEC中，cosα=cos∠DCE=CE/CD=3/5，CD=4，
∴CE=CD·cosα=4×(3/5)=12/5。
∴DE=√(CD²-CE²)=√(4²-(12/5)²)=16/5。
在Rt△ADE中，cosα=DE/AD=3/5，DE=16/5，
∴AD=DE/(3/5)=(16/5)×(5/3)=16/3。
答案：C
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4。
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠DEC=90°。
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ADE=∠DCE=α。
在Rt△DEC中，cosα=cos∠DCE=CE/CD=3/5，CD=4，
∴CE=CD·cosα=4×(3/5)=12/5。
∴DE=√(CD²-CE²)=√(4²-(12/5)²)=16/5。
在Rt△ADE中，cosα=DE/AD=3/5，DE=16/5，
∴AD=DE/(3/5)=(16/5)×(5/3)=16/3。
答案：C
5. 已知$∠A$为锐角,且$sinA= \frac {5}{13}$,则$tanA= $
$\frac{5}{12}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察三角函数的基本关系式。
已知$\sin A = \frac{5}{13}$，且$∠A$为锐角，
根据三角函数的基本关系式，我们有：
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
代入已知的$\sin A$值，得到：
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
所以，
$\cos A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$
（注意，因为$∠A$为锐角，所以$\cos A$取正值）
接下来，利用$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$，得到：
$\tan A = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$
【答案】：
$\frac{5}{12}$
本题主要考察三角函数的基本关系式。
已知$\sin A = \frac{5}{13}$，且$∠A$为锐角，
根据三角函数的基本关系式，我们有：
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
代入已知的$\sin A$值，得到：
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
所以，
$\cos A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$
（注意，因为$∠A$为锐角，所以$\cos A$取正值）
接下来，利用$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$，得到：
$\tan A = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$
【答案】：
$\frac{5}{12}$
6. 在$Rt△ABC$中,已知$∠C= 90^{\circ },AC= BC$.若点O是$△ABC$的重心,则$cos∠OBC= $
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.
答案：
解：设AC=BC=a。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(a²+a²)=√2a，
∴点D为AC中点，CD=AC/2=a/2，
同理，点E为BC中点，CE=BC/2=a/2。
∵点O是△ABC的重心，
∴BO=2BE/3=2×(√(CE²+BC²)/2)/3=2×(√((a/2)²+a²)/2)/3=2×(√(5a²/4)/2)/3=2×( (a√5)/2 /2 )/3= (a√5)/6 。
在Rt△BCE中，BE=√(CE²+BC²)=√((a/2)²+a²)=√(5a²/4)= (a√5)/2 ，
∴BO=2BE/3=2×(a√5/2)/3= (a√5)/3 。
在Rt△OBD中（D为AC中点，OD=CD/3=a/6），BD=√(CD²+BC²)=√((a/2)²+a²)= (a√5)/2 ，
OB= (2/3)BD= (2/3)×(a√5/2)= (a√5)/3 ，
BC=a，
在△OBC中，cos∠OBC= (BC²+BO²-OC²)/(2×BC×BO)，
OC=√(CD²+OD²)=√((a/2)²+(a/6)²)=√(a²/4 + a²/36)=√(10a²/36)= (a√10)/6 ，
cos∠OBC= (a² + (5a²/9) - (10a²/36))/(2×a×(a√5/3))= (a² + 5a²/9 - 5a²/18)/(2a²√5/3)= ( (18a² + 10a² - 5a²)/18 )/(2a²√5/3)= (23a²/18)/(2a²√5/3)= (23/18)×(3/(2√5))= 23/(12√5)= 23√5/60 （错误，重新计算）
正确方法：过O作OH⊥BC于H，H为BC上点，OH=OD=a/3，BH=BC - CH= a - CE/3= a - a/6= 5a/6，
OB=√(BH² + OH²)=√( (25a²/36) + (a²/9) )=√(25a²/36 + 4a²/36)=√(29a²/36)= (a√29)/6 （错误）
正确辅助线：重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍，取BC中点E，则BE=EC=a/2，OE= (1/3)AE，AE=√(AC²+CE²)=√(a² + (a/2)²)= (a√5)/2 ，OE= (a√5)/6 ，
在Rt△OBE中，OB=√(BE² + OE²)=√( (a/2)² + (a√5/6)² )=√(a²/4 + 5a²/36)=√(14a²/36)= (a√14)/6 （错误）
最终正确解法：设AC=BC=3，则AB=3√2，重心O，坐标法：C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)，O( (0+3+0)/3, (0+0+3)/3 )=(1,1)，
向量BO=(-2,1)，向量BC=(-3,0)，
cos∠OBC= (BO·BC)/(|BO||BC|)= ( (-2)(-3)+1×0 )/(√(4+1)×3)= 6/(3√5)= 2√5/5 。
答案：2√5/5
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(a²+a²)=√2a，
∴点D为AC中点，CD=AC/2=a/2，
同理，点E为BC中点，CE=BC/2=a/2。
∵点O是△ABC的重心，
∴BO=2BE/3=2×(√(CE²+BC²)/2)/3=2×(√((a/2)²+a²)/2)/3=2×(√(5a²/4)/2)/3=2×( (a√5)/2 /2 )/3= (a√5)/6 。
在Rt△BCE中，BE=√(CE²+BC²)=√((a/2)²+a²)=√(5a²/4)= (a√5)/2 ，
∴BO=2BE/3=2×(a√5/2)/3= (a√5)/3 。
在Rt△OBD中（D为AC中点，OD=CD/3=a/6），BD=√(CD²+BC²)=√((a/2)²+a²)= (a√5)/2 ，
OB= (2/3)BD= (2/3)×(a√5/2)= (a√5)/3 ，
BC=a，
在△OBC中，cos∠OBC= (BC²+BO²-OC²)/(2×BC×BO)，
OC=√(CD²+OD²)=√((a/2)²+(a/6)²)=√(a²/4 + a²/36)=√(10a²/36)= (a√10)/6 ，
cos∠OBC= (a² + (5a²/9) - (10a²/36))/(2×a×(a√5/3))= (a² + 5a²/9 - 5a²/18)/(2a²√5/3)= ( (18a² + 10a² - 5a²)/18 )/(2a²√5/3)= (23a²/18)/(2a²√5/3)= (23/18)×(3/(2√5))= 23/(12√5)= 23√5/60 （错误，重新计算）
正确方法：过O作OH⊥BC于H，H为BC上点，OH=OD=a/3，BH=BC - CH= a - CE/3= a - a/6= 5a/6，
OB=√(BH² + OH²)=√( (25a²/36) + (a²/9) )=√(25a²/36 + 4a²/36)=√(29a²/36)= (a√29)/6 （错误）
正确辅助线：重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍，取BC中点E，则BE=EC=a/2，OE= (1/3)AE，AE=√(AC²+CE²)=√(a² + (a/2)²)= (a√5)/2 ，OE= (a√5)/6 ，
在Rt△OBE中，OB=√(BE² + OE²)=√( (a/2)² + (a√5/6)² )=√(a²/4 + 5a²/36)=√(14a²/36)= (a√14)/6 （错误）
最终正确解法：设AC=BC=3，则AB=3√2，重心O，坐标法：C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)，O( (0+3+0)/3, (0+0+3)/3 )=(1,1)，
向量BO=(-2,1)，向量BC=(-3,0)，
cos∠OBC= (BO·BC)/(|BO||BC|)= ( (-2)(-3)+1×0 )/(√(4+1)×3)= 6/(3√5)= 2√5/5 。
答案：2√5/5
7. 在$△ABC$中,已知$∠A= 30^{\circ },tanB= \frac {\sqrt {3}}{3},AC= 2\sqrt {3}$,则$AB= $
6
.
答案：
解：在△ABC中，
∵tanB=√3/3，
∴∠B=30°，
∵∠A=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=120°，
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴CD=AC·sinA=2√3×1/2=√3，
AD=AC·cosA=2√3×√3/2=3，
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=√3，
∴BD=CD/tanB=√3/(√3/3)=3，
∴AB=AD+BD=3+3=6。
答案：6
∵tanB=√3/3，
∴∠B=30°，
∵∠A=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=120°，
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴CD=AC·sinA=2√3×1/2=√3，
AD=AC·cosA=2√3×√3/2=3，
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=√3，
∴BD=CD/tanB=√3/(√3/3)=3，
∴AB=AD+BD=3+3=6。
答案：6
8. 在平行四边形ABCD中,已知两邻边长分别为4 cm和6 cm,它们的夹角为$60^{\circ }$,则较短的对角线的长为
2√7
cm.
答案：
解：在平行四边形ABCD中，设AB=4cm，BC=6cm，∠ABC=60°，连接AC。
过点A作AE⊥BC于点E。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=4cm，
则BE=AB·cos60°=4×0.5=2cm，
AE=AB·sin60°=4×(√3/2)=2√3cm。
EC=BC-BE=6-2=4cm。
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，AE=2√3cm，EC=4cm，
AC=√(AE²+EC²)=√[(2√3)²+4²]=√(12+16)=√28=2√7cm。
较短的对角线的长为2√7cm。
答案：2√7
过点A作AE⊥BC于点E。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=4cm，
则BE=AB·cos60°=4×0.5=2cm，
AE=AB·sin60°=4×(√3/2)=2√3cm。
EC=BC-BE=6-2=4cm。
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，AE=2√3cm，EC=4cm，
AC=√(AE²+EC²)=√[(2√3)²+4²]=√(12+16)=√28=2√7cm。
较短的对角线的长为2√7cm。
答案：2√7
9. 已知在直角梯形ABCD中,上底$CD= 4$,下底$AB= 10$,非直角腰$BC= 4\sqrt {3}$,则底角$∠B= $
30°
.
答案：
解：过点C作CE⊥AB于点E。
∵梯形ABCD是直角梯形，CD=4，AB=10，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=4，CE=AD，
∴BE=AB-AE=10-4=6。
在Rt△BCE中，BC=4√3，BE=6，
cos∠B=BE/BC=6/(4√3)=√3/2，
∴∠B=30°。
答案：30°
∵梯形ABCD是直角梯形，CD=4，AB=10，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=4，CE=AD，
∴BE=AB-AE=10-4=6。
在Rt△BCE中，BC=4√3，BE=6，
cos∠B=BE/BC=6/(4√3)=√3/2，
∴∠B=30°。
答案：30°
10. 已知等腰三角形ABC的腰长为$4\sqrt {3}$,底角为$45^{\circ }$,则底边上的高为
2√6
.
答案：
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD为底边上的高。
在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=4√3，
sin∠B=AD/AB，
AD=AB·sin45°=4√3×√2/2=2√6。
答案：2√6
在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=4√3，
sin∠B=AD/AB，
AD=AB·sin45°=4√3×√2/2=2√6。
答案：2√6
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