《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,已知点$D$、$E分别在AB$、$AC$上,且$DE// BC$,则下列结论错误的是 (C)

A.$\frac {AD}{DB}= \frac {AE}{EC}$;
B.$\frac {AD}{AB}= \frac {AE}{AC}$;
C.$\frac {DE}{BC}= \frac {AD}{DB}$;
D.$\frac {DE}{BC}= \frac {AE}{AC}$.

答案： 【解析】：本题可根据平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质来逐一分析选项。
已知在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质来分析各选项：
选项A：$\frac {AD}{DB}= \frac {AE}{EC}$
因为$DE// BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，该选项正确。
选项B：$\frac {AD}{AB}= \frac {AE}{AC}$
由于$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，该选项正确。
选项C：$\frac {DE}{BC}= \frac {AD}{DB}$
由$\triangle ADE\sim\triangle ABC$可知$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，而$\frac{AD}{AB}\neq\frac{AD}{DB}$（一般情况下$AB\neq DB$），所以$\frac {DE}{BC}\neq \frac {AD}{DB}$，该选项错误。
选项D：$\frac {DE}{BC}= \frac {AE}{AC}$
因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，该选项正确。
【答案】：C

2. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,已知$E是AB$延长线上一点,$DE分别交对角线AC于点G$,边$BC于点F$. 下列选项中错误的是 ( C )

A.$\frac {CG}{AG}= \frac {DG}{GE}$;
B.$\frac {CG}{AG}= \frac {GF}{GD}$;
C.$\frac {BE}{AB}= \frac {CF}{BF}$;
D.$\frac {CF}{CB}= \frac {CD}{AE}$.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，BC=AD。
选项A：
∵AB//CD，
∴△CGD∽△AGE（AA），
∴$\frac{CG}{AG}=\frac{DG}{GE}$，A正确。
选项B：
∵AD//BC，
∴△AGD∽△CGF（AA），
∴$\frac{CG}{AG}=\frac{GF}{GD}$，B正确。
选项C：
∵AB//CD，
∴△EBF∽△ECD（AA），
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}$，
∵CD=AB，BC=BF+CF，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BF+CF}$，
则$\frac{BE}{AB}≠\frac{CF}{BF}$（反例：设AB=2，BE=1，BF=1，CF=2，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{BF}=2$，不相等），C错误。
选项D：
∵AD//BC，
∴△AGD∽△CGF（AA），
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{CG}{AG}$，
∵AB//CD，
∴△CGD∽△AGE（AA），
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{CG}{AG}$，
∵AD=CB，
∴$\frac{CF}{CB}=\frac{CD}{AE}$，D正确。
结论：错误选项为C。
答案：C

3. 在$\triangle ABC$中, 已知点$D$、$E分别在边AB$、$AC$的延长线上,$DE// BC$, 则下列线段的比中,与$DE:BC$相等的是 (C)
A.$AD:DB$;
B.$BD:AB$;
C.$AD:AB$;
D.$AB:AD$.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角形中平行线性质的应用。
在$\triangle ABC$中，由于$DE// BC$，根据平行线性质，我们有$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
根据相似三角形的性质，对应边之间的比例是相等的，即：
$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$
我们需要找到一个与$\frac{DE}{BC}$相等的比，对比选项，发现只有选项C：$\frac{AD}{AB}$与上述比例相符。
【答案】：
C

4. 如图,在$\triangle ABC$中,已知点$D$、$E分别在边AB$、$AC$上,$DE// BC$. 若$AE:AC= 1:3$,则$S_{\triangle DEC}:S_{\triangle DBC}$等于 (B)
A.$1:2$;
B.$1:3$;
C.$1:4$;
D.$1:5$.

答案： 解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵AE:AC=1:3，
∴AD:AB=AE:AC=1:3，
设AD=k，则AB=3k，BD=AB-AD=2k，
∴AD:BD=1:2，
∵△ADE与△BDE等高，
∴S△ADE:S△BDE=AD:BD=1:2，
设S△ADE=m，则S△BDE=2m，S△ABE=S△ADE+S△BDE=3m，
∵AE:AC=1:3，△ABE与△CBE等高，
∴S△ABE:S△CBE=AE:EC=1:2，
∴S△CBE=2S△ABE=6m，
∵DE//BC，
∴△ADE与△ABC的相似比为1:3，
∴S△ADE:S△ABC=1:9，
∴S△ABC=9m，
∴S△DBC=S△ABC-S△ABD=9m-(m+2m)=6m，
S△DEC=S△CBE-S△DBE=6m-2m=4m，
∴S△DEC:S△DBC=4m:6m=2:3。
（注：原始解答过程中存在计算错误，经修正后S△DEC:S△DBC=2:3，但选项中无此答案，可能原始题目解析思路存在偏差，正确思路应为：过D作AC垂线，设高为h，AE=k，AC=3k，EC=2k，DE//BC得AD/AB=AE/AC=1/3，设S△ADE=1，则S△ABC=9，S△ADC=3（等高，AD/AB=1/3），S△DEC=S△ADC - S△ADE=3 - 1=2，S△DBC=S△ABC - S△ADC=9 - 3=6，故S△DEC:S△DBC=2:6=1:3，应选B。）
正确解答：
解：
∵DE//BC，AE:AC=1:3，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1:3，
∴S△ADE:S△ABC=1:9，
设S△ADE=1，则S△ABC=9，
∵AE:AC=1:3，
∴AE:EC=1:2，
∵△ADE与△CDE等高，
∴S△ADE:S△CDE=AE:EC=1:2，
∴S△CDE=2，
∵AD:AB=AE:AC=1:3，
∴AD:DB=1:2，
∵△ADC与△BDC等高，
∴S△ADC:S△BDC=AD:DB=1:2，
∵S△ADC=S△ADE+S△CDE=1+2=3，
∴S△BDC=6，
∴S△DEC:S△DBC=2:6=1:3，
选B。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,已知四边形$ADEF$是菱形,$AC= 15$,$AB= 10$,则$CF= $9.

答案： 解：设菱形ADEF的边长为x，则AD=DE=EF=FA=x。
因为四边形ADEF是菱形，所以EF//AB，DE//AC。
由EF//AB，根据三角形一边的平行线性质定理，得$\frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB}$，即$\frac{CF}{15}=\frac{x}{10}$，所以$CF=\frac{3}{2}x$。
由DE//AC，同理可得$\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{BD}{10}=\frac{x}{15}$，所以$BD=\frac{2}{3}x$。
因为AD+BD=AB，所以$x+\frac{2}{3}x=10$，解得$x=6$。
则$CF=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×6=9$。
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6. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,四边形$EDFC$为内接正方形,$AC= 5$,$BC= 3$,$AE:DF= $$5:3$.

答案： 【解析】：本题可先根据相似三角形的性质求出$AE$与$AC$的关系，再结合正方形的性质求出$DF$，进而求出$AE:DF$的值。
由于$DE// BC$，根据相似三角形的判定定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），可得$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。
根据相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例），可得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。
因为四边形$EDFC$为内接正方形，所以$DE = DF$。
已知$AC = 5$，$BC = 3$，将其代入$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$中，可得$\frac{AE}{5}=\frac{DF}{3}$，即$AE=\frac{5}{3}DF$。
那么$\frac{AE}{DF}=\frac{5}{3}$，也就是$AE:DF = 5:3$。
【答案】：$5:3$

7. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E是AB$延长线上的一点,$DE与边BC相交于点F$.如果$\frac {BE}{AE}= \frac {2}{7}$,那么$\frac {BF}{FC}$的值为$\frac {2}{5}$.

答案： 【解析】：本题可根据平行四边形性质得出$AB=CD$以及$CD// AE$，从而证明$\triangle CFD\sim \triangle BEF$，再利用相似三角形的性质求解$\frac {BF}{FC}$的值。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质可知$AB=CD$，$AB// CD$。
因为$E$是$AB$延长线上的一点，所以$CD// AE$。
由于$CD// AE$，那么$\angle CDF=\angle E$，$\angle C=\angle EBF$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle CFD$和$\triangle BEF$中，$\angle CDF=\angle E$，$\angle C=\angle EBF$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle CFD\sim \triangle BEF$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，所以$\frac {BF}{FC}=\frac {BE}{CD}$。
已知$\frac {BE}{AE}=\frac {2}{7}$，设$BE = 2x$，则$AE = 7x$。
因为$AB = AE - BE$，所以$AB = 7x - 2x = 5x$。
又因为$AB = CD$，所以$CD = 5x$。
将$BE = 2x$，$CD = 5x$代入$\frac {BF}{FC}=\frac {BE}{CD}$，可得$\frac {BF}{FC}=\frac {2x}{5x}=\frac {2}{5}$。
【答案】：$\frac {2}{5}$