《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

9. 如图,已知线段AC、BD相交于点O,且AO= 2,OC= 3,BO= 10,OD= 15,求证:∠A= ∠C.

答案： 【解析】：
根据题目已知条件，线段AC、BD相交于点O，且给出了各线段的长度，需要证明$∠A= ∠C$，我们可以通过证明两个三角形相似来得出对应角相等，考虑三角形AOB和三角形COD，我们可以通过对应边成比例来证明两个三角形相似，从而得出$∠A= ∠C$的结论。
【答案】：
证明：
∵$\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$，$\frac{BO}{OD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}$，
又
∵$∠AOB= ∠COD$（对顶角相等），
∴$\triangle AOB\sim\triangle COD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$∠A= ∠C$（相似三角形的对应角相等）。

10. 如图,四边形CDEF是直角三角形ABC的内接正方形,BC= 2,AC= 1,求正方形CDEF的面积.

答案： 解：设正方形CDEF的边长为$x$，则$CD=DE=EF=FC=x$。
因为四边形CDEF是正方形，所以$DE // BC$，$EF // AC$。
$\because DE // BC$，$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ACB$（相似三角形预备定理）。
$\because AC=1$，$BC=2$，$\therefore AD=AC - CD=1 - x$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{1 - x}{1}=\frac{x}{2}$。
解得$x=\frac{2}{3}$。
$\therefore$正方形CDEF的面积为$x^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
答：正方形CDEF的面积为$\frac{4}{9}$。

11. 如图,已知M、N分别为△ABC中边AB、BC上的点,$\frac {AM}{BM}= \frac {3}{2},\frac {CN}{BN}= \frac {4}{5}$,MN与中线BD相交于点O,求$\frac {DO}{BO}$的值.

答案： 解：过点D作DE//AB交MN于点E，设AM=3k，BM=2k，则AB=5k。
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=DC。
∵DE//AB，
∴DE是△CMN的中位线（此处应为：由DE//AB，得△CDE∽△CAB，$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}$），
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k。
∵DE//BM，
∴△DEO∽△BMO，$\frac{DO}{BO}=\frac{DE}{BM}=\frac{\frac{5}{2}k}{2k}=\frac{5}{4}$。
答：$\frac{DO}{BO}$的值为$\frac{5}{4}$。
（注：原辅助线思路修正后，通过相似三角形对应边成比例求解，过程更严谨。）
$\boxed{\frac{5}{4}}$