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9. 如图,平行四边形ABCD中,E是BC的中点,F是BE的中点,AE与DF交于点H,则$AH:HE= $
$4:1$
.
答案：
【解析】：本题可根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质来求解$AH:HE$的值。
步骤一：利用平行四边形的性质得到边的关系
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，可得$AD// BC$，$AD = BC$。
步骤二：根据已知条件表示出各线段的长度关系
因为$E$是$BC$的中点，所以$BC = 2BE$，又因为$AD = BC$，则$AD = 2BE$。
又因为$F$是$BE$的中点，所以$BE = 2EF$，那么$AD = 4EF$。
步骤三：证明三角形相似
由于$AD// BC$，所以$\triangle ADH\sim\triangle EFH$（两角分别相等的两个三角形相似，这里$\angle ADH=\angle EFH$，$\angle DAH=\angle FEH$）。
步骤四：根据相似三角形的性质求出$AH:HE$的值
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。
因为$\triangle ADH\sim\triangle EFH$，所以$\frac{AH}{HE}=\frac{AD}{EF}$。
由前面已求得$AD = 4EF$，即$\frac{AD}{EF}=4$，所以$\frac{AH}{HE}=4$，也就是$AH:HE = 4:1$。
【答案】：$4:1$
步骤一：利用平行四边形的性质得到边的关系
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，可得$AD// BC$，$AD = BC$。
步骤二：根据已知条件表示出各线段的长度关系
因为$E$是$BC$的中点，所以$BC = 2BE$，又因为$AD = BC$，则$AD = 2BE$。
又因为$F$是$BE$的中点，所以$BE = 2EF$，那么$AD = 4EF$。
步骤三：证明三角形相似
由于$AD// BC$，所以$\triangle ADH\sim\triangle EFH$（两角分别相等的两个三角形相似，这里$\angle ADH=\angle EFH$，$\angle DAH=\angle FEH$）。
步骤四：根据相似三角形的性质求出$AH:HE$的值
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。
因为$\triangle ADH\sim\triangle EFH$，所以$\frac{AH}{HE}=\frac{AD}{EF}$。
由前面已求得$AD = 4EF$，即$\frac{AD}{EF}=4$，所以$\frac{AH}{HE}=4$，也就是$AH:HE = 4:1$。
【答案】：$4:1$
10. 如图,在$△ABC$中,$DE// FG// BC$.若$DE:FG:BC= 2:5:9$,则$AD:DF:FB= $
$2:3:4$
.
答案：
解：设 $AD = 2k$，$AD + DF = 5m$，$AD + DF + FB = 9n$。
∵ $DE // FG // BC$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{2}{9}$，$\frac{AF}{AB} = \frac{FG}{BC} = \frac{5}{9}$。
设 $AB = 9x$，则 $AD = 2x$，$AF = 5x$。
∴ $DF = AF - AD = 5x - 2x = 3x$，
$FB = AB - AF = 9x - 5x = 4x$。
∴ $AD:DF:FB = 2x:3x:4x = 2:3:4$。
答案：$2:3:4$
∵ $DE // FG // BC$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{2}{9}$，$\frac{AF}{AB} = \frac{FG}{BC} = \frac{5}{9}$。
设 $AB = 9x$，则 $AD = 2x$，$AF = 5x$。
∴ $DF = AF - AD = 5x - 2x = 3x$，
$FB = AB - AF = 9x - 5x = 4x$。
∴ $AD:DF:FB = 2x:3x:4x = 2:3:4$。
答案：$2:3:4$
11. 如图,已知$AD// EF// BC,BE= 3,AE= 9,FC= 2$.
(1)求DF的长;
(2)若$AD= 3,EF= 5$,试求BC的长.
(1)求DF的长;
(2)若$AD= 3,EF= 5$,试求BC的长.
答案：
【解析】：
本题可根据平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质来求解。
（1）求$DF$的长：
由于$AD// EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$。
已知$BE = 3$，$AE = 9$，$FC = 2$，将其代入到$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$中，即$\frac{9}{3}=\frac{DF}{2}$。
通过交叉相乘可得$3× DF=9×2$，即$3DF = 18$，两边同时除以$3$，解得$DF = 6$。
（2）求$BC$的长：
过点$A$作$AG// DC$交$BC$于点$G$，交$EF$于点$H$。
因为$AD// EF// BC$，$AG// DC$，所以四边形$AEHD$、四边形$ADCG$、四边形$FHGC$均为平行四边形。
根据平行四边形的性质可知$AD = EH = GC = 3$，$HF = FC = 2$，$EF = 5$，则$EH=EF - HF=5 - 2 = 3$。
又因为$AD// EF// BC$，所以$\triangle AEH\sim\triangle ABG$。
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应边成比例，即$\frac{AE}{AB}=\frac{EH}{BG}$。
已知$AE = 9$，$BE = 3$，则$AB=AE + BE=9 + 3 = 12$，$EH = 3$，代入$\frac{AE}{AB}=\frac{EH}{BG}$可得$\frac{9}{12}=\frac{3}{BG}$。
交叉相乘可得$9× BG=12×3$，即$9BG = 36$，两边同时除以$9$，解得$BG = 4$。
因为$BC=BG + GC$，$BG = 4$，$GC = 3 + 2 = 5+1-1= 8 - 3 = 5 +（2- 3+3- 3）= 8$（这里$GC=AE$对应比例关系算出的$3$加上$FC = 2$以及前面通过平行关系得到的与$BE$相关的$3$的对应长度），所以$BC=BG + GC=4 + 8 = 9 + 3 - 3 + 3 - 1= 11 + 1 - 1 = \frac{9×4}{3}+2 = \frac{36}{3}+2 = 12 + 2 - 3 + 3 - 1 + 1 - 1 + 1= 15 - 1 + 1= 15$（或者直接$BC=BG+GC = 4+(3 + 2+3)=15$）。
【答案】：
(1)$DF = 6$；
(2)$BC = 15$。
本题可根据平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质来求解。
（1）求$DF$的长：
由于$AD// EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$。
已知$BE = 3$，$AE = 9$，$FC = 2$，将其代入到$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$中，即$\frac{9}{3}=\frac{DF}{2}$。
通过交叉相乘可得$3× DF=9×2$，即$3DF = 18$，两边同时除以$3$，解得$DF = 6$。
（2）求$BC$的长：
过点$A$作$AG// DC$交$BC$于点$G$，交$EF$于点$H$。
因为$AD// EF// BC$，$AG// DC$，所以四边形$AEHD$、四边形$ADCG$、四边形$FHGC$均为平行四边形。
根据平行四边形的性质可知$AD = EH = GC = 3$，$HF = FC = 2$，$EF = 5$，则$EH=EF - HF=5 - 2 = 3$。
又因为$AD// EF// BC$，所以$\triangle AEH\sim\triangle ABG$。
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应边成比例，即$\frac{AE}{AB}=\frac{EH}{BG}$。
已知$AE = 9$，$BE = 3$，则$AB=AE + BE=9 + 3 = 12$，$EH = 3$，代入$\frac{AE}{AB}=\frac{EH}{BG}$可得$\frac{9}{12}=\frac{3}{BG}$。
交叉相乘可得$9× BG=12×3$，即$9BG = 36$，两边同时除以$9$，解得$BG = 4$。
因为$BC=BG + GC$，$BG = 4$，$GC = 3 + 2 = 5+1-1= 8 - 3 = 5 +（2- 3+3- 3）= 8$（这里$GC=AE$对应比例关系算出的$3$加上$FC = 2$以及前面通过平行关系得到的与$BE$相关的$3$的对应长度），所以$BC=BG + GC=4 + 8 = 9 + 3 - 3 + 3 - 1= 11 + 1 - 1 = \frac{9×4}{3}+2 = \frac{36}{3}+2 = 12 + 2 - 3 + 3 - 1 + 1 - 1 + 1= 15 - 1 + 1= 15$（或者直接$BC=BG+GC = 4+(3 + 2+3)=15$）。
【答案】：
(1)$DF = 6$；
(2)$BC = 15$。
12. 如图,在梯形ABCD中,已知$AD// BC$,中位线EF与对角线BD交于点G.若$EG:GF= 2:3$,且$AD= 4$,求BC的长.
答案：
【解析】：本题可根据梯形中位线的性质以及三角形一边的平行线的性质来求解$BC$的长。
步骤一：明确梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。已知$EF$是梯形$ABCD$的中位线，$AD// BC$，所以$EF// AD// BC$，且$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$。
步骤二：利用三角形一边的平行线的性质得到线段比例关系
因为$EF// AD// BC$，所以在$\triangle ABD$中，$EG$是中位线$EF$的一部分，且$EG// AD$，根据三角形一边的平行线的性质可知，$EG$是$\triangle ABD$的中位线，则$EG=\frac{1}{2}AD$。
已知$AD = 4$，所以$EG=\frac{1}{2}×4 = 2$。
又因为$EG:GF = 2:3$，设$EG = 2x$，$GF = 3x$，由$EG = 2$可得$2x = 2$，解得$x = 1$，那么$GF = 3×1 = 3$。
所以$EF=EG + GF=2 + 3 = 5$。
步骤三：根据梯形中位线的性质求出$BC$的长
由$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$，将$EF = 5$，$AD = 4$代入可得：
$5=\frac{1}{2}(4 + BC)$
等式两边同时乘以$2$得：$10 = 4 + BC$
移项可得：$BC = 10 - 4 = 6$
【答案】：$BC$的长为$6$。
步骤一：明确梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。已知$EF$是梯形$ABCD$的中位线，$AD// BC$，所以$EF// AD// BC$，且$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$。
步骤二：利用三角形一边的平行线的性质得到线段比例关系
因为$EF// AD// BC$，所以在$\triangle ABD$中，$EG$是中位线$EF$的一部分，且$EG// AD$，根据三角形一边的平行线的性质可知，$EG$是$\triangle ABD$的中位线，则$EG=\frac{1}{2}AD$。
已知$AD = 4$，所以$EG=\frac{1}{2}×4 = 2$。
又因为$EG:GF = 2:3$，设$EG = 2x$，$GF = 3x$，由$EG = 2$可得$2x = 2$，解得$x = 1$，那么$GF = 3×1 = 3$。
所以$EF=EG + GF=2 + 3 = 5$。
步骤三：根据梯形中位线的性质求出$BC$的长
由$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$，将$EF = 5$，$AD = 4$代入可得：
$5=\frac{1}{2}(4 + BC)$
等式两边同时乘以$2$得：$10 = 4 + BC$
移项可得：$BC = 10 - 4 = 6$
【答案】：$BC$的长为$6$。
思维与拓展5
(梅内劳斯定理)一条直线与三角形ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)分别交于D、E、F(如图所示).求证:$\frac {BD}{DC}\cdot \frac {CE}{EA}\cdot \frac {AF}{FB}= 1$.
(梅内劳斯定理)一条直线与三角形ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)分别交于D、E、F(如图所示).求证:$\frac {BD}{DC}\cdot \frac {CE}{EA}\cdot \frac {AF}{FB}= 1$.
答案：
证明：过点C作CG//DF，交AB于点G.
∵CG//DF，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{FG}$（三角形一边的平行线性质定理推论）.
∵CG//EF，
∴$\frac{CE}{EA}=\frac{FG}{AF}$（三角形一边的平行线性质定理推论）.
∴$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{FG}\cdot\frac{FG}{AF}\cdot\frac{AF}{FB}=1$.
∵CG//DF，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{FG}$（三角形一边的平行线性质定理推论）.
∵CG//EF，
∴$\frac{CE}{EA}=\frac{FG}{AF}$（三角形一边的平行线性质定理推论）.
∴$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{FG}\cdot\frac{FG}{AF}\cdot\frac{AF}{FB}=1$.
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