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8. 如图,已知河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为$30^{\circ }$,测得岸边点D的俯角为$45^{\circ }$,又知河宽CD为50m. 现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长.
答案：
解：过点A作AB⊥CD，交CD的延长线于点B，设山的高度AB为xm。
在Rt△ABD中，∠ADB=45°，tan∠ADB=AB/BD，
∵tan45°=1，
∴BD=AB=xm。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，tan∠ACB=AB/BC，
∵BC=CD+BD=50+x，tan30°=√3/3，
∴x/(50+x)=√3/3，解得x=25(√3+1)。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AC=2AB=50(√3+1)m。
答：山的高度为25(√3+1)m，缆绳AC的长为50(√3+1)m。
在Rt△ABD中，∠ADB=45°，tan∠ADB=AB/BD，
∵tan45°=1，
∴BD=AB=xm。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，tan∠ACB=AB/BC，
∵BC=CD+BD=50+x，tan30°=√3/3，
∴x/(50+x)=√3/3，解得x=25(√3+1)。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AC=2AB=50(√3+1)m。
答：山的高度为25(√3+1)m，缆绳AC的长为50(√3+1)m。
9. 如图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6m的小区超市,超市以上是居民住房,在该楼的前面16m处要盖一栋高20m的新楼,在冬至日清晨阳光的照射下,1m高的小树的影子长为1.6m.
(1)问:超市以上的居民住房采光是否受到影响? 为什么?
(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应相距多少米?
(1)问:超市以上的居民住房采光是否受到影响? 为什么?
(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应相距多少米?
答案：
【解析】：本题主要考查相似三角形的性质及比例关系。
（1）首先，根据题意，1m高的小树的影子长为1.6m，所以光线与地面的夹角$\angle A$的正切值为$\tan\angle A = \frac{1}{1.6} = \frac{5}{8}$。
设影子照射到居民楼CD上时，对应的居民楼高度为$x$米，新楼高度为$20$米，两楼相距$16$米，
由于同一时刻，物高与影长成正比，
所以有比例关系：$\frac{20 - x}{16} = \frac{5}{8} × \frac{1}{1.6}$的简化形式，即$\frac{20 - x}{16} = \frac{5}{8} × \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$（这里直接用了1m树影的比例）。
但更直接的是用相似比例：$\frac{20-x}{16} = \frac{1}{1.6}$。
解这个比例式，得到$x = 20 - \frac{16}{1.6} = 20 - 10 = 10$（米），
由于$10 \gt 6$，即影子会遮挡到超市以上的居民住房，
所以，超市以上的居民住房采光会受到影响。
（2）要使超市以上的居民住房采光不受影响，需要让新楼的影子刚好照到居民楼的超市部分，即影长为$20-6=14$（米）时对应的两楼距离。
设两楼相距$y$米时，新楼的影子刚好照到居民楼的超市部分，
则有比例关系：$\frac{14}{y} = \frac{1}{1.6}$，
解这个比例式，得到：$y = 14 × 1.6 = 22.4$（米），
所以，若要使超市以上的居民住房采光不受影响，两楼应相距$22.4$米。
【答案】：
(1)受影响，理由见解析；
(2)$22.4$米。
（1）首先，根据题意，1m高的小树的影子长为1.6m，所以光线与地面的夹角$\angle A$的正切值为$\tan\angle A = \frac{1}{1.6} = \frac{5}{8}$。
设影子照射到居民楼CD上时，对应的居民楼高度为$x$米，新楼高度为$20$米，两楼相距$16$米，
由于同一时刻，物高与影长成正比，
所以有比例关系：$\frac{20 - x}{16} = \frac{5}{8} × \frac{1}{1.6}$的简化形式，即$\frac{20 - x}{16} = \frac{5}{8} × \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$（这里直接用了1m树影的比例）。
但更直接的是用相似比例：$\frac{20-x}{16} = \frac{1}{1.6}$。
解这个比例式，得到$x = 20 - \frac{16}{1.6} = 20 - 10 = 10$（米），
由于$10 \gt 6$，即影子会遮挡到超市以上的居民住房，
所以，超市以上的居民住房采光会受到影响。
（2）要使超市以上的居民住房采光不受影响，需要让新楼的影子刚好照到居民楼的超市部分，即影长为$20-6=14$（米）时对应的两楼距离。
设两楼相距$y$米时，新楼的影子刚好照到居民楼的超市部分，
则有比例关系：$\frac{14}{y} = \frac{1}{1.6}$，
解这个比例式，得到：$y = 14 × 1.6 = 22.4$（米），
所以，若要使超市以上的居民住房采光不受影响，两楼应相距$22.4$米。
【答案】：
(1)受影响，理由见解析；
(2)$22.4$米。
思维与拓展16
已知在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 1,∠A= 36^{\circ }$.若$∠ABC$的平分线BD交AC于点D,则AD的长是
已知在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 1,∠A= 36^{\circ }$.若$∠ABC$的平分线BD交AC于点D,则AD的长是
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
,cosA的值是$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
.(结果保留根号)
答案：
【解析】：
本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的计算。
首先，由于$\triangle ABC$是等腰三角形，且$\angle A=36^\circ$，可以求出$\angle ABC$和$\angle ACB$的度数，由于三角形内角和为$180^\circ$，且$\angle A=36^\circ$，则$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ$。
接着，由于BD是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABD=\angle DBC=36^\circ$。
由于$\angle ABD=\angle A$，根据等腰三角形的性质，得出$AD=BD$。
又因为$\angle BDC$是$\triangle ABD$的外角，所以$\angle BDC=\angle A+\angle ABD=72^\circ$，由于$\angle BDC=\angle BCD$，根据等腰三角形的性质，得出$BD=BC$，所以$AD=BD=BC$。
由于$\triangle BCD$与$\triangle ABC$在$\angle DBC=\angle A$，$\angle BCD=\angle ACB$两个角上相等，且都有一个公共角$\angle C$，所以$\triangle BCD\sim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质，有$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=CD× AB$，由于$AB=AC=1$，设$AD=x$，则$CD=1-x$，代入上式得$x^2=1-x$，解这个二次方程得到$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去，因为长度不能为负），所以$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
最后，在$\triangle ABC$中，利用余弦定理求出$\cos A$的值，余弦定理为$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2× AB× AC}$，由于$AB=AC=1$，$BC=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入上式得$\cos A=\frac{1+1-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2}{2×1×1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
【答案】：
$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$\cos A=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的计算。
首先，由于$\triangle ABC$是等腰三角形，且$\angle A=36^\circ$，可以求出$\angle ABC$和$\angle ACB$的度数，由于三角形内角和为$180^\circ$，且$\angle A=36^\circ$，则$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ$。
接着，由于BD是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABD=\angle DBC=36^\circ$。
由于$\angle ABD=\angle A$，根据等腰三角形的性质，得出$AD=BD$。
又因为$\angle BDC$是$\triangle ABD$的外角，所以$\angle BDC=\angle A+\angle ABD=72^\circ$，由于$\angle BDC=\angle BCD$，根据等腰三角形的性质，得出$BD=BC$，所以$AD=BD=BC$。
由于$\triangle BCD$与$\triangle ABC$在$\angle DBC=\angle A$，$\angle BCD=\angle ACB$两个角上相等，且都有一个公共角$\angle C$，所以$\triangle BCD\sim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质，有$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=CD× AB$，由于$AB=AC=1$，设$AD=x$，则$CD=1-x$，代入上式得$x^2=1-x$，解这个二次方程得到$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去，因为长度不能为负），所以$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
最后，在$\triangle ABC$中，利用余弦定理求出$\cos A$的值，余弦定理为$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2× AB× AC}$，由于$AB=AC=1$，$BC=AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入上式得$\cos A=\frac{1+1-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2}{2×1×1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
【答案】：
$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$\cos A=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
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