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1. 已知非零向量$\vec{m}$、$\vec{n}$和单位向量$\vec{e}$,则下列等式正确的是 (
A.$\left| \vec{m} \right|\vec{e}= \vec{m}$；
B.$\left| \vec{e} \right|\vec{n}= \vec{n}$；
C.$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}= \vec{e}$；
D.$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}= \frac{1}{\left| \vec{n} \right|}\vec{n}$.
B
)A.$\left| \vec{m} \right|\vec{e}= \vec{m}$；
B.$\left| \vec{e} \right|\vec{n}= \vec{n}$；
C.$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}= \vec{e}$；
D.$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}= \frac{1}{\left| \vec{n} \right|}\vec{n}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查实数与向量相乘的性质及单位向量的定义。
对于选项A：$\left| \vec{m} \right|\vec{e}$ 表示的是与向量$\vec{e}$共线的向量，其模为$\left| \vec{m} \right|$，但方向可能与$\vec{m}$不同，因此A选项错误。
对于选项B：由于$\vec{e}$是单位向量，所以$\left| \vec{e} \right| = 1$，那么$\left| \vec{e} \right|\vec{n} = \vec{n}$，即单位向量与任意向量相乘（这里是数乘，实数为1），结果仍为原向量，所以B选项正确。
对于选项C：$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}$ 表示的是与$\vec{m}$共线的单位向量，但题目中只说明了$\vec{e}$是单位向量，并未说明它与$\vec{m}$共线，因此C选项错误。
对于选项D：$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}$ 和 $\frac{1}{\left| \vec{n} \right|}\vec{n}$ 分别表示与$\vec{m}$和$\vec{n}$共线的单位向量，但由于$\vec{m}$和$\vec{n}$的方向可能不同，所以这两个单位向量也可能不同，因此D选项错误。
【答案】：
B
本题主要考查实数与向量相乘的性质及单位向量的定义。
对于选项A：$\left| \vec{m} \right|\vec{e}$ 表示的是与向量$\vec{e}$共线的向量，其模为$\left| \vec{m} \right|$，但方向可能与$\vec{m}$不同，因此A选项错误。
对于选项B：由于$\vec{e}$是单位向量，所以$\left| \vec{e} \right| = 1$，那么$\left| \vec{e} \right|\vec{n} = \vec{n}$，即单位向量与任意向量相乘（这里是数乘，实数为1），结果仍为原向量，所以B选项正确。
对于选项C：$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}$ 表示的是与$\vec{m}$共线的单位向量，但题目中只说明了$\vec{e}$是单位向量，并未说明它与$\vec{m}$共线，因此C选项错误。
对于选项D：$\frac{1}{\left| \vec{m} \right|}\vec{m}$ 和 $\frac{1}{\left| \vec{n} \right|}\vec{n}$ 分别表示与$\vec{m}$和$\vec{n}$共线的单位向量，但由于$\vec{m}$和$\vec{n}$的方向可能不同，所以这两个单位向量也可能不同，因此D选项错误。
【答案】：
B
2. 已知$\vec{a}$、$\vec{b}和\vec{c}$都是非零向量,在下列选项中,不能判定$\vec{a}// \vec{b}$的是 (
A.$\vec{a}// \vec{c}$,$\vec{b}// \vec{c}$；
B.$\left| \vec{a} \right|=\left| \vec{b} \right|$；
C.$\vec{a}= 2\vec{b}$；
D.$\vec{a}= \frac{1}{2}\vec{c}$,$\vec{b}= 2\vec{c}$.
B
)A.$\vec{a}// \vec{c}$,$\vec{b}// \vec{c}$；
B.$\left| \vec{a} \right|=\left| \vec{b} \right|$；
C.$\vec{a}= 2\vec{b}$；
D.$\vec{a}= \frac{1}{2}\vec{c}$,$\vec{b}= 2\vec{c}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察平行向量的判定条件。
A选项：若$\vec{a}// \vec{c}$且$\vec{b}// \vec{c}$，根据平行向量的传递性，我们可以得出$\vec{a}// \vec{b}$，所以A选项不符合题意。
B选项：若$\left| \vec{a} \right|=\left| \vec{b} \right|$，这只说明向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模相等，但并不能直接推断出$\vec{a}// \vec{b}$。模长相等并不意味着方向相同或相反，因此B选项符合题意。
C选项：若$\vec{a}= 2\vec{b}$，这说明$\vec{a}$是$\vec{b}$的两倍，即$\vec{a}$和$\vec{b}$方向相同，只是大小不同，所以$\vec{a}// \vec{b}$，C选项不符合题意。
D选项：若$\vec{a}= \frac{1}{2}\vec{c}$且$\vec{b}= 2\vec{c}$，则可以通过传递性得出$\vec{a}// \vec{b}$（因为$\vec{a}$是$\vec{c}$的一半，而$\vec{b}$是$\vec{c}$的两倍，所以$\vec{a}$和$\vec{b}$都与$\vec{c}$平行，从而$\vec{a}// \vec{b}$），所以D选项不符合题意。
综上所述，只有B选项不能判定$\vec{a}// \vec{b}$。
【答案】：
B
本题主要考察平行向量的判定条件。
A选项：若$\vec{a}// \vec{c}$且$\vec{b}// \vec{c}$，根据平行向量的传递性，我们可以得出$\vec{a}// \vec{b}$，所以A选项不符合题意。
B选项：若$\left| \vec{a} \right|=\left| \vec{b} \right|$，这只说明向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模相等，但并不能直接推断出$\vec{a}// \vec{b}$。模长相等并不意味着方向相同或相反，因此B选项符合题意。
C选项：若$\vec{a}= 2\vec{b}$，这说明$\vec{a}$是$\vec{b}$的两倍，即$\vec{a}$和$\vec{b}$方向相同，只是大小不同，所以$\vec{a}// \vec{b}$，C选项不符合题意。
D选项：若$\vec{a}= \frac{1}{2}\vec{c}$且$\vec{b}= 2\vec{c}$，则可以通过传递性得出$\vec{a}// \vec{b}$（因为$\vec{a}$是$\vec{c}$的一半，而$\vec{b}$是$\vec{c}$的两倍，所以$\vec{a}$和$\vec{b}$都与$\vec{c}$平行，从而$\vec{a}// \vec{b}$），所以D选项不符合题意。
综上所述，只有B选项不能判定$\vec{a}// \vec{b}$。
【答案】：
B
3. 如果$\vec{a}$的模为 3,且与单位向量$\vec{e}$方向相同,那么下列关系式正确的是 (
A.$\vec{e}= 3\vec{a}$；
B.$\vec{e}= -3\vec{a}$；
C.$\vec{a}= 3\vec{e}$；
D.$\vec{a}= -3\vec{e}$.
C
)A.$\vec{e}= 3\vec{a}$；
B.$\vec{e}= -3\vec{a}$；
C.$\vec{a}= 3\vec{e}$；
D.$\vec{a}= -3\vec{e}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察向量的数乘性质。
给定$\vec{a}$的模为3，且与单位向量$\vec{e}$方向相同，我们需要找到$\vec{a}$和$\vec{e}$之间的关系。
由于$\vec{e}$是单位向量，其模为1。
根据数乘的定义，当两向量方向相同时，一向量可以表示为另一向量的数乘。
设$\vec{a} = k\vec{e}$，其中$k$是实数。
由于$|\vec{a}| = 3$且$|\vec{e}| = 1$，所以$k$应该等于3，即$\vec{a} = 3\vec{e}$。
【答案】：
C. $\vec{a} = 3\vec{e}$。
本题主要考察向量的数乘性质。
给定$\vec{a}$的模为3，且与单位向量$\vec{e}$方向相同，我们需要找到$\vec{a}$和$\vec{e}$之间的关系。
由于$\vec{e}$是单位向量，其模为1。
根据数乘的定义，当两向量方向相同时，一向量可以表示为另一向量的数乘。
设$\vec{a} = k\vec{e}$，其中$k$是实数。
由于$|\vec{a}| = 3$且$|\vec{e}| = 1$，所以$k$应该等于3，即$\vec{a} = 3\vec{e}$。
【答案】：
C. $\vec{a} = 3\vec{e}$。
4. 已知非零向量$\vec{a}$、$\vec{b}$是互为相反的向量,则下列等式成立的是 (
A.$\vec{a}-\vec{b}= \vec{0}$；
B.$\vec{a}+\vec{b}= \vec{0}$；
C.$\left| \vec{a} \right|-\left| \vec{b} \right|=0$；
D.$\left| \vec{a} \right|+\left| \vec{b} \right|=0$.
BC
)A.$\vec{a}-\vec{b}= \vec{0}$；
B.$\vec{a}+\vec{b}= \vec{0}$；
C.$\left| \vec{a} \right|-\left| \vec{b} \right|=0$；
D.$\left| \vec{a} \right|+\left| \vec{b} \right|=0$.
答案：
解：因为非零向量$\vec{a}$、$\vec{b}$是互为相反的向量，所以$\vec{b}=-\vec{a}$。
A. $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}-(-\vec{a})=2\vec{a}\neq\vec{0}$，故A不成立；
B. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，故B成立；
C. 互为相反向量的模相等，即$|\vec{a}|=|\vec{b}|$，所以$|\vec{a}|-|\vec{b}|=0$，故C成立；
D. 因为$\vec{a}$、$\vec{b}$是非零向量，所以$|\vec{a}|＞0$，$|\vec{b}|＞0$，则$|\vec{a}| + |\vec{b}|＞0\neq0$，故D不成立。
综上，成立的等式是B和C。
答案：BC
A. $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}-(-\vec{a})=2\vec{a}\neq\vec{0}$，故A不成立；
B. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，故B成立；
C. 互为相反向量的模相等，即$|\vec{a}|=|\vec{b}|$，所以$|\vec{a}|-|\vec{b}|=0$，故C成立；
D. 因为$\vec{a}$、$\vec{b}$是非零向量，所以$|\vec{a}|＞0$，$|\vec{b}|＞0$，则$|\vec{a}| + |\vec{b}|＞0\neq0$，故D不成立。
综上，成立的等式是B和C。
答案：BC
5. 已知$\vec{a}$、$\vec{b}$是两个非零向量,$\vec{e}$是一个单位向量,下列等式正确的是 (
A.$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}=\vec{e}$；
B.$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}=\frac{\vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}$；
C.$\left| \vec{a} \right|\cdot \vec{e}= \vec{a}$；
D.$\left| \vec{e} \right|\cdot \vec{a}= \vec{a}$.
D
)A.$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}=\vec{e}$；
B.$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}=\frac{\vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}$；
C.$\left| \vec{a} \right|\cdot \vec{e}= \vec{a}$；
D.$\left| \vec{e} \right|\cdot \vec{a}= \vec{a}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察向量的基本概念和性质，特别是单位向量和向量的数乘。
A选项：$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}$ 是将向量$\vec{a}$单位化，得到的是与$\vec{a}$同向的单位向量。由于$\vec{e}$是任意单位向量，其方向不一定与$\vec{a}$相同，所以A选项错误。
B选项：同样，$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}$ 和 $\frac{\vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}$ 分别是将$\vec{a}$和$\vec{b}$单位化后的向量。由于$\vec{a}$和$\vec{b}$的方向不一定相同，所以它们单位化后的向量也不一定相同，B选项错误。
C选项：$\left| \vec{a} \right|\cdot \vec{e}$ 是将单位向量$\vec{e}$数乘$\left| \vec{a} \right|$，得到的是与$\vec{e}$同向，模长为$\left| \vec{a} \right|$的向量。这个向量不一定与$\vec{a}$相同，因为$\vec{e}$的方向是任意的，所以C选项错误。
D选项：由于$\vec{e}$是单位向量，所以$\left| \vec{e} \right| = 1$。因此，$\left| \vec{e} \right|\cdot \vec{a} = 1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$，D选项正确。
【答案】：
D
本题主要考察向量的基本概念和性质，特别是单位向量和向量的数乘。
A选项：$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}$ 是将向量$\vec{a}$单位化，得到的是与$\vec{a}$同向的单位向量。由于$\vec{e}$是任意单位向量，其方向不一定与$\vec{a}$相同，所以A选项错误。
B选项：同样，$\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a} \right|}$ 和 $\frac{\vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}$ 分别是将$\vec{a}$和$\vec{b}$单位化后的向量。由于$\vec{a}$和$\vec{b}$的方向不一定相同，所以它们单位化后的向量也不一定相同，B选项错误。
C选项：$\left| \vec{a} \right|\cdot \vec{e}$ 是将单位向量$\vec{e}$数乘$\left| \vec{a} \right|$，得到的是与$\vec{e}$同向，模长为$\left| \vec{a} \right|$的向量。这个向量不一定与$\vec{a}$相同，因为$\vec{e}$的方向是任意的，所以C选项错误。
D选项：由于$\vec{e}$是单位向量，所以$\left| \vec{e} \right| = 1$。因此，$\left| \vec{e} \right|\cdot \vec{a} = 1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$，D选项正确。
【答案】：
D
6. 若两个非零向量$\vec{a}$、$\vec{b}$的方向相同,且$\left| \vec{a} \right|=2\left| \vec{b} \right|$,则$\vec{a}= $
2
$\vec{b}$.
答案：
解：因为向量$\vec{a}$、$\vec{b}$方向相同，所以存在正实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。又因为$|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$，所以$k|\vec{b}| = 2|\vec{b}|$，由于$\vec{b}$是非零向量，$|\vec{b}| \neq 0$，可得$k = 2$，故$\vec{a}=2\vec{b}$。
$2$
$2$
7. 如图,在梯形$ABCD$中,已知$AD// BC$,点$E$、$F分别是AB$、$DC$的中点,$\overrightarrow{AD}= \vec{a}$,$\overrightarrow{EF}= \vec{b}$,则$\overrightarrow{BC}= $
$2\vec{b}-\vec{a}$
.(结果用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示)
答案：
【解析】：
本题主要考查梯形中的向量表示，涉及到向量的加法、数乘以及梯形中位线的性质，我们可以利用梯形中位线的性质得到$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$的关系，进而求出$\overrightarrow{BC}$。
步骤一：利用梯形中位线性质得到向量关系
已知点$E$、$F$分别是$AB$、$DC$的中点，根据梯形中位线的性质可知，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
因为$\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$是梯形$ABCD$的中位线，所以$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$。
步骤二：对上述向量关系进行变形求解$\overrightarrow{BC}$
由$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$，等式两边同时乘以$2$可得$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$。
然后将$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{EF}=\vec{b}$代入上式，得到$2\vec{b}=\vec{a}+\overrightarrow{BC}$。
移项可得$\overrightarrow{BC}=2\vec{b}-\vec{a}$。
【答案】：$2\vec{b}-\vec{a}$
本题主要考查梯形中的向量表示，涉及到向量的加法、数乘以及梯形中位线的性质，我们可以利用梯形中位线的性质得到$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$的关系，进而求出$\overrightarrow{BC}$。
步骤一：利用梯形中位线性质得到向量关系
已知点$E$、$F$分别是$AB$、$DC$的中点，根据梯形中位线的性质可知，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
因为$\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$是梯形$ABCD$的中位线，所以$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$。
步骤二：对上述向量关系进行变形求解$\overrightarrow{BC}$
由$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$，等式两边同时乘以$2$可得$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$。
然后将$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{EF}=\vec{b}$代入上式，得到$2\vec{b}=\vec{a}+\overrightarrow{BC}$。
移项可得$\overrightarrow{BC}=2\vec{b}-\vec{a}$。
【答案】：$2\vec{b}-\vec{a}$
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