《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

1. 在$\triangle ABC$中,已知点$D$、$E分别在边AB$、$AC$上,$BD = 2AD$,$CE = 2AE$. 若$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {a}$,则$\overrightarrow {ED}$等于(B)
A.$\frac {1}{3}\overrightarrow {a}$;
B.$-\frac {1}{3}\overrightarrow {a}$;
C.$\frac {1}{2}\overrightarrow {a}$;
D.$-\frac {1}{2}\overrightarrow {a}$.

答案： 解：
∵ $ BD = 2AD $，
∴ $ AD = \frac{1}{3}AB $，即 $ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} $.
∵ $ CE = 2AE $，
∴ $ AE = \frac{1}{3}AC $，即 $ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $.
$ \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) $.
∵ $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} $，
∴ $ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{a} $.
∴ $ \overrightarrow{ED} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{a}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{a} $.
答案：B.

2. 若$AM是\triangle ABC$的中线,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {a}$,$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {b}$,则$\overrightarrow {AM}$等于(B)
A.$\frac {1}{2}(\overrightarrow {a} - \overrightarrow {b})$;
B.$\frac {1}{2}(\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b})$;
C.$\frac {1}{3}(\overrightarrow {a} - \overrightarrow {b})$;
D.$\frac {1}{3}(\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b})$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平面向量的线性运算，特别是中点向量的表示。
在$\triangle ABC$中，$M$是$BC$的中点，由向量的平行四边形法则或中点公式，有
$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，
题目给出$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$，
代入上述公式，得到
$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$。
【答案】：B. $\frac {1}{2}(\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b})$。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,已知点$D$、$E在边AB$上,且$AD = DE = EB$,$DF// BC$,交$AC于点F$.设$\overrightarrow {EB} = \overrightarrow {a}$,$\overrightarrow {EC} = \overrightarrow {b}$,则下列式子正确的是(C)

A.$\overrightarrow {DF} = \frac {1}{3}\overrightarrow {a} + \frac {1}{3}\overrightarrow {b}$;
B.$\overrightarrow {DF} = \frac {1}{3}\overrightarrow {a} - \frac {1}{3}\overrightarrow {b}$;
C.$\overrightarrow {DF} = -\frac {1}{3}\overrightarrow {a} + \frac {1}{3}\overrightarrow {b}$;
D.$\overrightarrow {DF} = -\frac {1}{3}\overrightarrow {a} - \frac {1}{3}\overrightarrow {b}$.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件得出$\overrightarrow{DB}$与$\overrightarrow{a}$的关系，再利用$DF// BC$得到$\overrightarrow{DF}$与$\overrightarrow{BC}$的关系，最后通过向量的加减法运算求出$\overrightarrow{DF}$关于$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的表达式。
已知$AD = DE = EB$，$\overrightarrow {EB} = \overrightarrow {a}$，
所以$\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{a}$。
因为$DF// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
又因为$AD = \frac{1}{3}AB$，
所以$\frac{DF}{BC}=\frac{1}{3}$，即$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$。
根据向量减法的三角形法则可知$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EB}$，
已知$\overrightarrow {EB} = \overrightarrow {a}$，$\overrightarrow {EC} = \overrightarrow {b}$，
所以$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$。
将$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$代入$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$可得：
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$
【答案】：C

4. 如图,$AM是\triangle ABC$的中线,设向量$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {a}$,$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {b}$,那么向量$\overrightarrow {AM} = $$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.(结果用$\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}$表示)

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的加法、数乘运算及平面向量基本定理的应用。
已知$AM$是$\triangle ABC$的中线，根据中线的定义可知$M$为$BC$中点，即$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。
根据向量加法的三角形法则：两个向量相加，首尾相连，和向量等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
在$\triangle ABM$中，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$。
因为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$。
将$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$代入$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$可得：$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$。
【答案】：
$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

5. 如图,在$\triangle ABC$中,已知点$G$是重心,$AD是边BC$的中线.设向量$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {a}$,$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {b}$,那么向量$\overrightarrow {AG} = $$\frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.(结果用$\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}$表示)

答案： 【解析】：
本题考查了三角形的重心性质和平面向量的线性运算。
首先，由于点$G$是$\triangle ABC$的重心，根据三角形的重心性质，有：
$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD}$，
接着，由于$AD$是边$BC$的中线，根据中线的性质，有：
$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，
但是题目中给出的是$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$，
需要通过这两个向量来表示$\overrightarrow{AC}$。
由于$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$，
所以$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$。
将这个结果代入$\overrightarrow{AD}$的表达式中，得到：
$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$。
最后，将这个结果代入$\overrightarrow{AG}$的表达式中，得到：
$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} \right) = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b}$。
【答案】：
$\frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$。

6. 如图,已知梯形$ABCD$,$AD// BC$,$BC = 2AD$.若$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {a}$,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b}$,则$\overrightarrow {AC} = $$2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}$.(结果用$\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}$表示)

答案： 【解析】：本题主要考查平面向量的线性运算。
由于$AD// BC$，且$ BC = 2AD$，$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {a}$，
所以$\overrightarrow {DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow {CB}= \overrightarrow {a}$。
根据向量加法的三角形法则，有$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}$。
而$\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AD}$，且$\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}$中的$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b}$，$\overrightarrow {BC}=2\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {a}$，
所以$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+ \overrightarrow {a}=2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}$，
也可通过$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b}+ \overrightarrow {a}=2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}$得出答案。
【答案】：$2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}$。

7. 如图,平行四边形$ABCD$中,已知对角线$AC$、$BD交于点O$.设向量$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {a}$,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b}$,则向量$\overrightarrow {AO} = $$\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$.(结果用$\overrightarrow {a}$、$\overrightarrow {b}$表示)

答案： 【解析】：本题考查平面向量的线性运算。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，
根据平行四边形的对角线性质，有$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b}$。
又因为$O$是对角线$AC$、$BD$的交点，根据平行四边形的对角线互相平分，有$\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow {AC}$。
将$\overrightarrow {AC}$的表达式代入，得到$\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b})$。
【答案】：$\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b})$。