《2025年中学生世界九年级数学上册沪教版五四制》

8. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E是边BC$上的点,$AE交BD于点F$.如果$BD= 10$,$\frac {BE}{EC}= \frac {3}{2}$,那么$BF$的长为____$\frac{15}{4}$.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠EBF，∠DAF=∠BEF。
∴△ADF∽△EBF。
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}$。
∵$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$，设BE=3k，EC=2k（k＞0），
∴BC=BE+EC=5k。
∵AD=BC，
∴AD=5k。
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
设BF=3m，FD=5m（m＞0）。
∵BD=BF+FD=10，
∴3m+5m=10，解得m=$\frac{5}{4}$。
∴BF=3m=3×$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$。
故答案为$\frac{15}{4}$。

9. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$AD是∠BAC$的平分线,$DE// AB$,交$AC于点E$,$AB= 15$,$AC= 10$,则$CE= $4.

答案： 【解析】：本题可根据角平分线的性质和平行线的性质得出线段之间的比例关系，进而求出$CE$的长度。
步骤一：根据角平分线和平行线的性质得到线段比例关系
已知$AD$是$\angle BAC$的平分线，则$\angle BAD = \angle EAD$。
因为$DE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAD = \angle ADE$。
又因为$\angle EAD = \angle ADE$，根据等角对等边，所以$AE = DE$。
由于$DE// AB$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CE}{AE}=\frac{CD}{BD}$。
同时，因为$DE// AB$，所以$\triangle CDE\sim\triangle CBA$（两角分别相等的两个三角形相似），则$\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{CB}$，即$\frac{CE}{CA}=\frac{AE}{AB}$。
步骤二：设未知数并列出方程求解
设$CE = x$，因为$AC = 10$，所以$AE = 10 - x$。
已知$AB = 15$，将$CE = x$，$AE = 10 - x$，$AB = 15$，$AC = 10$代入$\frac{CE}{CA}=\frac{AE}{AB}$中，可得$\frac{x}{10}=\frac{10 - x}{15}$。
交叉相乘可得：$15x = 10×(10 - x)$。
去括号：$15x = 100 - 10x$。
移项：$15x + 10x = 100$。
合并同类项：$25x = 100$。
系数化为$1$：$x = 4$，即$CE = 4$。
【答案】：$4$

10. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$AB= AC= 17$,$BC= 16$,点$M是\triangle ABC$的重心,则$AM$的长是____.

10

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形重心的性质及勾股定理的应用。
三角形重心的性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的$2$倍。
先求出$BC$边中线长，再根据重心性质求出$AM$长。
过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$D$为$BC$中点。
已知$BC = 16$，则$BD=\frac{1}{2}BC = 8$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 17$，$BD = 8$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得：
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$。
因为点$M$是$\triangle ABC$的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的$2$倍，$AD$是$BC$边上的中线，设$AD$与$BC$的交点为$D$，则$AM=\frac{2}{3}AD$。
将$AD = 15$代入可得$AM=\frac{2}{3}×15 = 10$。
【答案】：$10$。

11. 已知点$G是等边三角形ABC$的重心,$AG= 8$,那么点$G与边BC$中点之间的距离是____4.

答案： 解：连接AG并延长交BC于点D。
∵G是等边三角形ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，且AG:GD=2:1。
∵AG=8，
∴GD=4。
即点G与边BC中点之间的距离是4。
答案：4

12. 如果直角三角形的斜边长为$18$,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6.

答案： 【解析】：
本题主要考查了直角三角形的性质以及重心的性质。
首先，我们知道直角三角形的斜边长为$18$。
设直角三角形为$ABC$，其中$\angle C = 90^{\circ}$，斜边$AB = 18$。
根据直角三角形的性质，我们知道斜边上的中线（即斜边的一半）长度为$\frac{AB}{2} = 9$。
设斜边上的中点为$D$，则$CD = 9$。
接下来，我们需要找到重心$G$。
在三角形中，重心是三条中线的交点，且重心将中线分为$2:1$的两部分。
因此，在直角三角形$ABC$中，重心$G$到直角顶点$C$的距离$CG$可以通过中线$CD$来计算。
具体地，$CG = \frac{2}{3} × CD = \frac{2}{3} × 9 = 6$。
【答案】：
$6$。

13. 如图,已知四边形$ABCD$是平行四边形,$E是AB$延长线上的一点,$DE交对角线AC于点G$,交$BC于点F$.
(1)求证:$\frac {CF}{AD}= \frac {AB}{AE}$;
(2)求证:$\frac {EF}{DE}+\frac {FG}{DG}= 1$;
(3)若$BF= CF$,则$\frac {CG}{CA}= $$\frac{1}{3}$;
(4)若$\frac {BF}{CF}= \frac {1}{2}$,则$\frac {CG}{CA}= $$\frac{2}{5}$;
(5)设$\frac {BF}{CF}= x$,$\frac {CG}{CA}= y$,求$y与x$之间的函数关系式.$y = \frac{1}{x + 2}$（$x＞0$）

答案： 【解析】：
(1)证明：
由于四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，有$AD// BC$，$AB = CD$。
因为$AD// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{CF}{AD} = \frac{CB}{AE}$。
由于$AB = CD$且$CB = AD$（平行四边形对边相等），所以$\frac{CF}{AD} = \frac{AB}{AE}$。
(2)证明：
由于四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，有$AD// BC$。
因为$AD// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{EF}{DE} = \frac{CF}{AD}$，$\frac{FG}{DG} = \frac{CF}{AD}$的另一种比例形式（通过不同线段比例关系得到）。
由于$\frac{CF}{AD} = \frac{AB}{AE}$（从
(1)中得知），且$AB = CD$，$AE = AB + BE$，可以推导出$\frac{EF}{DE} + \frac{FG}{DG} = \frac{CF}{AD} × \text{相关比例系数和} = 1$（通过比例关系的加法和消去得到）。
或者更简洁地，由于$AD// BC$，根据平行线分线段成比例定理的推论，有$\frac{EF}{DE} = \frac{CF}{CE}$，$\frac{FG}{DG} = \frac{CF}{AD} = \frac{BE}{AE}$（因为$CF$是$BC$的一部分，且$BC = AD$），相加即得$\frac{EF}{DE} + \frac{FG}{DG} = 1$。
(3)
由于$BF = CF$，且$BC = AD$（平行四边形对边相等），所以$CF = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD$。
因为$AD// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{CG}{GA} = \frac{CF}{AD} = \frac{1}{2}$。
因此，$\frac{CG}{CA} = \frac{CG}{CG + GA} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$。
(4)
设$CF = a$，则$BF = \frac{1}{2}a$（因为$\frac{BF}{CF} = \frac{1}{2}$），所以$BC = CF + BF = a + \frac{1}{2}a = \frac{3}{2}a$。
由于$BC = AD$（平行四边形对边相等），所以$AD = \frac{3}{2}a$。
因为$AD// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{CG}{GA} = \frac{CF}{AD} = \frac{a}{\frac{3}{2}a} = \frac{2}{3}$。
因此，$\frac{CG}{CA} = \frac{CG}{CG + GA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}$。
(5)
设$CF = a$，则$BF = ax$（因为$\frac{BF}{CF} = x$），所以$BC = CF + BF = a + ax = a(1 + x)$。
由于$BC = AD$（平行四边形对边相等），所以$AD = a(1 + x)$。
因为$AD// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{CG}{GA} = \frac{CF}{AD} = \frac{a}{a(1 + x)} = \frac{1}{1 + x}$。
因此，$\frac{CG}{CA} = \frac{CG}{CG + GA} = \frac{1}{1 + \frac{GA}{CG}} = \frac{1}{1 + \frac{1 + x}{1}} = \frac{1}{x + 2}$，即$y = \frac{1}{x + 2}$（$x＞0$）。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)$\frac{1}{3}$；
(4)$\frac{2}{5}$；
(5)$y = \frac{1}{x + 2}$（$x＞0$）。

思维与拓展4
如图,已知$AB// EF// CD$,$AB= a$,$CD= b$,$EF= c$,求证:$\frac {1}{c}= \frac {1}{a}+\frac {1}{b}$.

答案： 证明：设直线AD与BC交于点E。
因为AB//EF，所以△EAB∽△EFD，
所以$\frac{EF}{AB} = \frac{ED}{AD}$，即$\frac{c}{a} = \frac{ED}{AD}$。
因为EF//CD，所以△EFD∽△ECD，
所以$\frac{EF}{CD} = \frac{EA}{AD}$，即$\frac{c}{b} = \frac{EA}{AD}$。
将上述两式相加：$\frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{ED}{AD} + \frac{EA}{AD} = \frac{ED + EA}{AD} = \frac{AD}{AD} = 1$。
等式两边同时除以c得：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$。
即$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$。