《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

7. 关于二次函数$y= 2x^{2}+4x-1$,下列说法不正确的是(C)
A.图象与 y 轴的交点坐标为$(0,-1)$
B.图象的对称轴在 y 轴左侧
C.当$x＜0$时,y 随 x 的增大而减小
D.函数的最小值为-3

答案： C

8. (2023·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数$y= x^{2}+mx+m^{2}-m$(m 为常数)的图象经过点$(0,6)$,且对称轴在 y 轴左侧,则该二次函数有(D)
A.最大值 5
B.最大值$\frac {15}{4}$
C.最小值 5
D.最小值$\frac {15}{4}$

答案： D 解析：
∵二次函数$ y=x^{2}+mx+m^{2}-m $的图象经过点$ (0,6) $，
∴$ m^{2}-m=6 $，解得$ m_{1}=-2,m_{2}=3 $.
∵该二次函数的图象的对称轴在$ y $轴左侧，
∴$ m=3 $.
∴$ y=x^{2}+3x+6=(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{15}{4} $.
∴该二次函数有最小值$ \frac{15}{4} $.

9. (2024·衢州衢江期中)已知抛物线$y= a(x-1)^{2}-2(a≠0)$,当$-1≤x≤2$时,y 的最大值与最小值的差为 3,则 a 的值为(C)
A.1
B.$\frac {3}{4}$
C.$\frac {3}{4}或-\frac {3}{4}$
D.$\frac {5}{4}或-\frac {3}{4}$

答案： C

10. 已知二次函数$y= 2x^{2}-bx+1$,当$x＜1$时,y 随 x 的增大而减小,则实数 b 的取值范围是$ b\geqslant4 $.

答案： $ b\geqslant4 $

11. 已知二次函数$y= (x+5)(x-a)的图象的对称轴为直线x= -2$,则$a= $1,该函数存在最小值,为-9. 若点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$在此函数的图象上,且$x_{1}＜x_{2}＜-2$,则$y_{1}与y_{2}$之间的大小关系为$ y_{1}＞y_{2} $(用“＞”连接).

答案： 1 小 -9 $ y_{1}＞y_{2} $

12. (新情境·日常生活)有一个抛物线形蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数表达式可以用$y= ax^{2}+bx$来表示. 已知大棚在地面上的宽度 OA 为 8 m,在距坐标原点 O 2 m 的地方,棚高 BC 为$\frac {9}{4}m$.
(1) 求该抛物线对应的函数表达式；
(2) 求蔬菜大棚离地面的最大高度；
(3) 若借助横梁 DE 建一个门,要求门的高度不小于$\frac {3}{2}m$,则横梁 DE 的宽度最大为多少米？

答案： （1）由题意，得抛物线经过点$ (2,\frac{9}{4}) $，$ (8,0) $.
∴$ \begin{cases} 4a+2b=\frac{9}{4}, \\ 64a+8b=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a=-\frac{3}{16}, \\ b=\frac{3}{2}. \end{cases} $
∴抛物线对应的函数表达式为$ y=-\frac{3}{16}x^{2}+\frac{3}{2}x $ （2）
∵$ y=-\frac{3}{16}x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{3}{16}(x-4)^{2}+3 $，
∴二次函数的最大值为3.
∴蔬菜大棚离地面的最大高度为3m （3）由题意，得当$ y=\frac{3}{2} $时，横梁DE的宽度最大，令$ -\frac{3}{16}x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{3}{2} $，解得$ x_{1}=4+2\sqrt{2},x_{2}=4-2\sqrt{2} $.
∴$ x_{1}-x_{2}=4+2\sqrt{2}-(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2} $.
∴横梁DE的宽度最大为$ 4\sqrt{2} $m

13. (2024·安徽)已知抛物线$y= -x^{2}+bx$(b 为常数)的顶点的横坐标比抛物线$y= -x^{2}+2x$的顶点的横坐标大 1.(1)求 b 的值.(2)点$A(x_{1},y_{1})在抛物线y= -x^{2}+2x$上,点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)在抛物线y= -x^{2}+bx$上.①若$h= 3t且x_{1}≥0,t＞0$,求 h 的值；②若$x_{1}= t-1$,求 h 的最大值.

答案： （1）
∵抛物线$ y=-x^{2}+bx $的顶点的横坐标为$ \frac{b}{2} $，抛物线$ y=-x^{2}+2x $的顶点的横坐标为1，
∴$ \frac{b}{2}-1=1 $.
∴$ b=4 $
（2）
∵点$ A(x_{1},y_{1}) $在抛物线$ y=-x^{2}+2x $上，
∴$ y_{1}=-x_{1}^{2}+2x_{1} $.
∵点$ B(x_{1}+t,y_{1}+h) $在抛物线$ y=-x^{2}+bx $上，
∴$ y_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t) $.
∴$ -x_{1}^{2}+2x_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t) $.
∴$ h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t $.①
∵$ h=3t $，
∴$ 3t=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t $.
∴$ t(t+2x_{1})=t+2x_{1} $.
∵$ x_{1}\geqslant0,t＞0 $，
∴$ t+2x_{1}＞0 $.
∴$ t=1 $.
∴$ h=3 $ ② 将$ x_{1}=t-1 $代入$ h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t $，得$ h=-t^{2}-2(t-1)t+2(t-1)+4t=-3t^{2}+8t-2=-3(t-\frac{4}{3})^{2}+\frac{10}{3} $.
∵$ -3＜0 $，
∴当$ t=\frac{4}{3} $，即$ x_{1}=\frac{1}{3} $时，$ h $取得最大值，为$ \frac{10}{3} $