《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

7. (2024·达州)抛物线$y= -x^{2}+bx+c$与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(A)
A.$b+c＞1$
B.$b= 2$
C.$b^{2}+4c＜0$
D.$c＜0$

答案： A

8. (2024·烟台)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的y与x的部分对应值如下表：
| x | -4 | -3 | -1 | 1 | 5 |
| y | 0 | 5 | 9 | 5 | -27 |
有下列结论：①$abc＞0$；②关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 9$有两个相等的实数根；③当$-4＜x＜1$时,y的取值范围是$0＜y＜5$；④若点$(m,y_{1})$,$(-m-2,y_{2})$均在该二次函数的图象上,则$y_{1}= y_{2}$；⑤满足$ax^{2}+(b+1)x+c＜2$的x的取值范围是$x＜-2或x＞3$.其中,正确的是______①②④(填序号).

答案： ①②④

9. 已知二次函数$y= x^{2}-2mx+m^{2}+3$(m是常数).
(1)求证：不论m为何值,该函数的图象与x轴都没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

答案： （1）根据题意，令$y=0$，得关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}+3=0$。$\because b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}+3)=4m^{2}-4m^{2}-12=-12＜0$，$\therefore$方程$x^{2}-2mx+m^{2}+3=0$没有实数根，即不论m为何值，二次函数$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3$的图象与x轴都没有公共点。（2）$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3=(x-m)^{2}+3$，把函数$y=(x-m)^{2}+3$的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到函数$y=(x-m)^{2}$的图象，它的顶点坐标为$(m,0)$，因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点。$\therefore$把函数$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3$的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点。

10. 已知二次函数$y= kx^{2}+(2k-1)x-2$(k为常数).
(1)求证：二次函数$y= kx^{2}+(2k-1)x-2$的图象与x轴有交点.
(2)若二次函数$y= kx^{2}+(2k-1)x-2$的图象与x轴的两个交点的横坐标异号,且两个交点之间的距离为3.
①求此时k的值.
②当$x= m$时,函数值为M；当$x= n$时,函数值为N.若$m+n= 2$,且$m≠n$,求证：$M+N＞0$.

答案： （1）根据题意，令$y=0$，得关于x的一元二次方程$kx^{2}+(2k-1)x-2=0$。$\because b^{2}-4ac=(2k-1)^{2}+8k=4k^{2}-4k+1+8k=4k^{2}+4k+1=(2k+1)^{2}\geq 0$，$\therefore$二次函数$y=kx^{2}+(2k-1)x-2$的图象与x轴有交点。（2）①设方程$kx^{2}+(2k-1)x-2=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac {2k-1}{k}$，$x_{1}x_{2}=-\frac {2}{k}$。$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac {(2k+1)^{2}}{k^{2}}$。$\because$二次函数$y=kx^{2}+(2k-1)x-2$的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，$\therefore |x_{1}-x_{2}|=3$。$\therefore \frac {(2k+1)^{2}}{k^{2}}=3^{2}$，解得$k=1$或$k=-\frac {1}{5}$。经检验，$k=1$或$k=-\frac {1}{5}$都是原分式方程的解。$\because$二次函数$y=kx^{2}+(2k-1)x-2$的图象与x轴的两个交点的横坐标异号，$\therefore x_{1}x_{2}=-\frac {2}{k}＜0$。$\therefore k＞0$。$\therefore k=1$。②$\because k=1$，$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^{2}+x-2$。由题意，得$M=m^{2}+m-2$，$N=n^{2}+n-2$。$\because m+n=2$，$\therefore m=2-n$。$\therefore M+N=m^{2}+m-2+n^{2}+n-2=(2-n)^{2}+2-n-2+n^{2}+n-2=2n^{2}-4n+2=2(n-1)^{2}$。又$\because m+n=2$，且$m≠n$，$\therefore n≠1$。$\therefore M+N=2(n-1)^{2}＞0$。