《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

9. (教材P97课内练习第1题变式)如图,AB是⊙O的直径,C,D为⊙O上的点,连结AD,DC,AC,BC.若∠D= 120°,则∠CAB的度数为(A)

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

答案： A

10. 如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若∠D= 80°,则∠CAE的度数为(B)
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°

答案： B

11. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB= CD,A为$\overset{\frown}{BD}$的中点,连结BD.若∠BDC= 60°,则∠ADB的度数为______.

40°

答案： 40°　解析:设∠ADB=x.
∵A为$\widehat{BD}$的中点,
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$.
∴∠ABD=∠ADB=x.
∵AB=CD,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$.
∴∠ADB=∠CBD=x.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°.又
∵∠BDC=60°,
∴3x+60°=180°,解得x=40°,即∠ADB=40°.

12. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB= AD,E是$\overset{\frown}{AD}$上的一点,连结AE,DE,BD.
(1)若∠C= 110°,求∠E的度数；
(2)若∠E= ∠C,求证:△ABD为等边三角形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵∠C=110°,
∴∠BAD=70°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=55°.
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形,
∴∠ABD+∠E=180°.
∴∠E=125°　　
(2)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠E=180°.又
∵∠E=∠C,
∴∠BAD=∠ABD.
∴AD=BD.又
∵AB=AD,
∴AB=BD=AD.
∴△ABD为等边三角形

13. 如图,四边形ABCD是圆内接四边形,对角线AC与BD相交于点E,点F在AC上,AB= AD,连结BF,DF,∠BFC= ∠BAD= 2∠DFC.
(1)若∠DFC= 40°,求∠CBF的度数；
(2)求证:CD⊥DF.

答案：
(1)在△BFC和△BAD中
∵∠ADB=∠ACB、∠BAD=∠BFC,
∴180°−∠ADB−∠BAD=180°−∠ACB−∠BFC,即∠ABD=∠CBF.又
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∴∠CBF=∠ADB.又
∵∠ADB=∠BCF,
∴∠CBF=∠BCF.
∵∠BFC=2∠DFC=80°,
∴∠CBF=$\frac{180^\circ - 80^\circ}{2}$=50°　
(2)设∠DFC=α,则∠BFC=∠BAD=2α.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BCD=180°−2α.又
∵AB=AD,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$.
∴∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=90°−α.
∴∠DFC+∠ACD=α+(90°−α)=90°.
∴∠CDF=90°,即CD⊥DF