《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

7. (2024·南充)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,BC= 6,AD平分∠CAB交BC于点D,E为边AB上一点,连结DE,则线段DE长的最小值为 (C)

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3

答案： C

8. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点D在边AC上,∠CBD= ∠A.若AC= 4,$\cos A= \frac{4}{5}$,则BD的长为$\frac{15}{4}$.

答案： $\frac{15}{4}$

9. 如图所示为一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米.已知小汽车的车门宽AO为1.2米,当车门打开的角度(∠AOB)为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由(参考数据:$\sin40^{\circ}\approx0.64$,$\cos40^{\circ}\approx0.77$,$\tan40^{\circ}\approx0.84$).

答案： 车门不会碰到墙　理由：过点A作$AC\perp OB$，垂足为C.在$\text{Rt}\triangle ACO$中，$\because\angle AOC=40^{\circ}$，$AO=1.2$米，$\therefore AC=AO\cdot\sin\angle AOC\approx1.2×0.64=0.768$（米）.$\because$汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，$0.768＜0.8$，$\therefore$车门不会碰到墙.

10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,点D,E分别在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为E,AE= 6,$\cos A= \frac{3}{5}$.求:
(1)CD的长;
(2)$\tan\angle DBC$的值.

答案： （1）在$\text{Rt}\triangle ADE$中，由$AE=6$，$\cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$，得$AD=10$.由勾股定理，得$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.$\because BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp AB$，$\angle C=90^{\circ}$，即$DC\perp BC$，$\therefore CD=DE=8$ （2）由（1），得$AC=AD+CD=18$.$\because$在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$\therefore AB=30$.由勾股定理，得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=24$.$\therefore\tan\angle DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

11. 如图,在四边形ABCD中,∠ACB= ∠CAD= 90°,点E在BC上,AE//DC,EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)若AE平分∠BAC,BE= 5,$\cos B= \frac{4}{5}$,求BF和AD的长.

答案： （1）$\because\angle ACB=\angle CAD=90^{\circ}$，$\therefore BC// AD$.又$\because AE// DC$，$\therefore$四边形AECD是平行四边形 （2）$\because EF\perp AB$，$\therefore\angle BFE=90^{\circ}$.$\therefore$在$\text{Rt}\triangle BEF$中，$BF=BE\cdot\cos B=4$.$\therefore EF=\sqrt{BE^{2}-BF^{2}}=3$.$\because AE$平分$\angle BAC$，$EF\perp AB$，$\angle ACE=90^{\circ}$，即$EC\perp AC$，$\therefore EC=EF=3$.由（1），得四边形AECD是平行四边形，$\therefore AD=EC=3$