《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

1.(2024·杭州西湖段考)已知$\frac{a}{4}= \frac{b}{3}$,则$\frac{a-b}{b}$的值是(D)
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.3
D.$\frac{1}{3}$

答案： D

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点D在边AB上,点E在边AC上,且$\angle1= \angle2= \angle3$,则与$\triangle ADE$相似的三角形的个数为(C)
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C

3.(2023·安徽)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,$EF\perp AB$于点F,连结DE并延长,交边BC于点M,交AB的延长线于点G.若$AF= 2$,$FB= 1$,则MG的长为(B)

A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$

答案： B 解析:
∵ 四边形ABCD是正方形，AF = 2，FB = 1，
∴ AD = BC = AB = AF + FB = 2 + 1 = 3，AD//CB，AD⊥AB，CB⊥AB.
∵ EF⊥AB，
∴ AD//EF//BC.
∴ $\frac{DE}{EM}=\frac{AF}{FB}=2$，△ADE∽△CME.
∴ $\frac{CM}{AD}=\frac{ME}{DE}=\frac{1}{2}$，则 $CM=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}$.
∴ $MB=BC - CM=3 - \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
∵ BC//AD，
∴ △GMB∽△GDA.
∴ $\frac{BG}{AG}=\frac{MB}{DA}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$.
∴ $BG=\frac{1}{2}AG$，即 BG = AB = 3. 在Rt△BGM中，由勾股定理，得 $MG=\sqrt{MB^2+BG^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,点D,F在边AB上,点E,G在边AC上,$DE// FG// BC$,且$AD:DF:FB= 3:2:1$.若$AG= 15$,则CE的长为______9.

答案： 9

5. 如图,$\angle ACB= \angle BDC= 90^\circ$.给出下列条件：①$AB// CD$；②$BC^2= AC\cdot CD$；③$\frac{AC}{BC}= \frac{BD}{CD}$.其中,添加后能使$\triangle ABC\sim\triangle BCD$的是①③(填序号).

答案： ①③

6.(2023·山西)如图,在四边形ABCD中,$\angle BCD= 90^\circ$,对角线AC,BD相交于点O.如果$AB= AC= 5$,$BC= 6$,$\angle ADB= 2\angle CBD$,那么AD的长为______$\frac{\sqrt{97}}{3}$.

答案： $\frac{\sqrt{97}}{3}$ 解析:如图，过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，则∠AHC = ∠AHB = 90°.
∵ AB = AC = 5，BC = 6，
∴ $BH=HC=\frac{1}{2}BC = 3$.
∴ $AH=\sqrt{AC^2 - CH^2}=4$.
∵ ∠ADB = ∠CBD + ∠CED，∠ADB = 2∠CBD，
∴ ∠CBD = ∠CED.
∴ DB = DE.
∵ ∠BCD = 90°，
∴ DC⊥BE.
∴ CE = BC = 6.
∴ EH = CE + CH = 9.
∵ DC⊥BE，AH⊥BC，
∴ CD//AH.
∴ △ECD∽△EHA.
∴ $\frac{CD}{HA}=\frac{CE}{HE}$，即 $\frac{CD}{4}=\frac{6}{9}$.
∴ $CD=\frac{8}{3}$.
∴ $DE=\sqrt{CE^2+CD^2}=\sqrt{6^2+(\frac{8}{3})^2}=\frac{2\sqrt{97}}{3}$.
∵ CD//AH，
∴ $\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{HC}$，即 $\frac{\frac{2\sqrt{97}}{3}}{AD}=\frac{6}{3}$，解得 $AD=\frac{\sqrt{97}}{3}$.

7. 如图,在由小正方形组成的网格中,每个小正方形的边长均为1,$\triangle ABC与\triangle ADE$的顶点都在格点上.
(1)求证：$\triangle ADE\sim\triangle ABC$；
(2)求$\angle1+\angle2$的度数.

答案：
(1)由勾股定理，得 $AD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. 又
∵ AE = 5，BC = 2，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
∴ △ADE∽△ABC.
(2)由
(1)，得△ADE∽△ABC，
∴ ∠ADE = ∠ABC = 90° + 45° = 135°.
∴ ∠1 + ∠2 = 180° - ∠ADE = 45°.