《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

8. 将抛物线$y= 2(x-1)^{2}+3$绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线对应的函数表达式为y=−2(x−1)²+3.

答案： y=−2(x−1)²+3

9. 已知抛物线的顶点坐标是$(2,1)$,且抛物线经过点$(3,0)$,则这条抛物线对应的函数表达式为(D)
A.$y= (x-2)^{2}+1$
B.$y= (x+2)^{2}+1$
C.$y= -(x+2)^{2}+1$
D.$y= -(x-2)^{2}+1$

答案： D

10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^{2}+4与y轴交于点A$,过点$A且与x轴平行的直线交抛物线y= \frac{1}{4}x^{2}于点B,C$,则$BC$的长为8.

答案： 8

11. (新视角·新定义题)如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上,那么称这个点为“平衡点”.现将抛物线$C_{1}:y= (x-1)^{2}-1沿x轴平移得到新抛物线C_{2}$,如果“平衡点”为$(4,8)$,那么新抛物线$C_{2}$对应的函数表达式为______y=(x−7)²−1.

答案： y=(x−7)²−1

12. 将抛物线$y= a(x-h)^{2}+k$先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线$y= \frac{1}{2}(x+1)^{2}-1$.
(1)求$a,h,k$的值；
(2)指出抛物线$y= a(x-h)^{2}+k$的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案：
(1)
∵将抛物线y=a(x−h)²+k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位,得到抛物线y=$\frac{1}{2}$(x+1)²−1,
∴将抛物线y=$\frac{1}{2}$(x+1)²−1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位,得到抛物线y=a(x−h)²+k,即y=$\frac{1}{2}$(x−1)²−5.
∴a=$\frac{1}{2}$,h=1,k=−5
(2) 开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,−5)

13. 如图,直线$y= -3x+3与x$轴、$y轴分别交于点A,B$,抛物线$y= a(x-2)^{2}+k经过点A,B$,且与$x轴交于另一点C$,其顶点为$P$.
(1)求点$C的坐标及a,k$的值；
(2)若抛物线的对称轴上有一点$Q$,使得$\triangle ABQ是以AB$为底边的等腰三角形,求点$Q$的坐标.

答案：
(1)
∵直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,
∴易得点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,3).
∵抛物线y=a(x−2)²+k的对称轴为直线x=2,
∴点A与点C关于直线x=2对称.
∴点C的坐标为(3,0).
∵抛物线y=a(x−2)²+k经过点A(1,0),B(0,3),
∴$\begin{cases}a + k = 0,\\4a + k = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\k = -1.\end{cases}$
∴a，k的值分别为1，-1
(2) 设点Q的坐标为(2,m),直线x=2交x轴于点F,连结AQ,BQ,过点B作BE⊥直线x=2于点E.在Rt△AQF中,AQ²=AF²+QF²=1+m².在Rt△BQE中,BQ²=BE²+EQ²=4+(3−m)².
∵△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,
∴AQ=BQ.
∴AQ²=BQ².
∴1+m²=4+(3−m)²,解得m=2.
∴点Q的坐标为(2,2)