《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

7. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在 AC,AB 上,且$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{3}$,AE= BE,则下列结论正确的是(B)

A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD

答案： B

8. 如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,$BC= \sqrt{3}AB= 3BD$,则 AD∶AC 的值为______$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

9. (分类讨论思想)(2024·绍兴上虞期中)如图,在△ABC 中,AB= 10 cm,BC= 20 cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 以 2 cm/s 的速度运动到点 B 停止,同时点 Q 从点 B 出发,沿 BC 以 4 cm/s 的速度运动到点 C 停止,则经过1或2.5s,△PBQ 与△ABC 相似.

答案： 1或2.5 解析:设经过t s后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t)cm. ① 当△PBQ∽△ABC时，有$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{4t}{20}$，解得t=2.5. ② 当△QBP∽△ABC时，有$\frac{QB}{AB}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{4t}{10}=\frac{10-2t}{20}$，解得t=1.
∴经过2.5s或1s，△PBQ与△ABC相似.

10. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AD 的中点,点 F 在边 CD 上,且 CF= 3FD,连结 BE,EF,则△ABE 与△DEF 相似吗? 请说明理由.

答案： △ABE∽△DEF 理由:设正方形ABCD的边长为a，则AB=AD=DC=a.
∵E是边AD的中点，CF=3FD，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}a$，DF=$\frac{1}{4}a$.
∵$\frac{AB}{DE}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{4}a}=2$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$. 又
∵在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF.

11. 如图,在四边形 ABCD 中,F,M 分别是 AB,BC 的中点,AC⊥BD 于点 E,BN 平分∠ABE,交 AM 于点 N,AB= AC= BD,连结 MF,NF.
(1) 判断△BMN 的形状,并证明你的结论;
(2) 判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.

答案： （1）△BMN是等腰直角三角形
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.
∴∠BMN=90°，∠BAN=$\frac{1}{2}∠BAC$.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°.
∵BN平分∠ABE，
∴∠ABN=$\frac{1}{2}∠ABE$.
∴∠MNB=∠BAN+∠ABN=$\frac{1}{2}(∠BAE+∠ABE)=\frac{1}{2}×90°=45°$. 又
∵∠BMN=90°，
∴∠MBN=∠MNB=45°.
∴MB=MN.
∴△BMN是等腰直角三角形 （2）△MFN∽△BDC 理由:
∵F，M分别是AB，BC的中点，
∴MF是△ABC的中位线.
∴MF//AC，且MF=$\frac{1}{2}AC$. 又
∵AC=BD，
∴MF=$\frac{1}{2}BD$. 即$\frac{MF}{BD}=\frac{1}{2}$. 由（1），得△BMN是等腰直角三角形，MN=BM. 又
∵M是BC的中点，
∴MN=BM=$\frac{1}{2}BC$.
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{MF}{BD}=\frac{MN}{BC}$.
∵∠BMN=90°，
∴∠NMF+∠BMF=90°. 设BD与FM相交于点H.
∵MF//AC，
∴∠FHB=∠AEB=90°.
∴∠CBD+∠BMF=90°.
∴∠NMF=∠CBD.
∴△MFN∽△BDC.