《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围,然后通过配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值.注意:由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

答案： 自变量的取值范围　配方变形　公式　取值范围内

1. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AB= 10 cm,BC= 8 cm,点P从点A出发,沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发,沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(当点Q运动到点B时,点P,Q同时停止运动).在运动过程中,四边形PABQ的最小面积为(C)
$A.19 cm^2$　　
$B.16 cm^2$　　
$C.15 cm^2$　　
$D.12 cm^2$　　

答案： C

2. (2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,一边借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是450平方米.

答案： 450

3. 某市在治理违章建筑的过程中,拆除了某小区的自建房,改建绿地.如图,自建房是边长为20 m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在线段AB上,点G在线段AD的延长线上,且DG= 2BE.若设BE的长为x m,绿地AEFG的面积为$y m^2,$则y关于x的函数表达式为$y = -2x^{2}+20x + 400(0 ＜ x ＜ 20)$,绿地AEFG的最大面积为450$ m^2.$

答案： $y = -2x^{2}+20x + 400(0 ＜ x ＜ 20)$ 450

4. (2024·杭州西湖段考)把一根长为4米的铁丝折成一个矩形,矩形的一边长为x米,面积为S平方米.
(1)求S关于x的函数表达式和x的取值范围.
(2)x为何值时,S最大?最大值为多少?

答案： （1）已知一边长为x米，则另一边长为$(2 - x)$米.
∴$S = x(2 - x)= -x^{2}+2x(0 ＜ x ＜ 2)$ （2）$S = 2x - x^{2}= -(x^{2}-2x)= -(x - 1)^{2}+1$ $\therefore$当$x = 1$时，S最大，最大值为1

5. (2024·杭州萧山段考)如图,现打算用60 m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN,墙MN可利用的长度为39 m(篱笆的宽度忽略不计).
(1)菜园的面积可能为$252 m^2$吗?若可能,求AB的长;若不可能,请说明理由.
(2)因场地限制,菜园的宽度AB不能超过8 m,求该菜园的最大面积.

答案： （1）可能 设AB的长为a m，则BC的长为$(60 - 3a)$m.根据题意，得$a(60 - 3a)= 252$，解得a = 6或a = 14.当a = 6时，$BC = 60 - 18 = 42(m)$，$42 ＞ 39$，舍去；当a = 14时，$BC = 60 - 42 = 18(m)$，$18 ＜ 39$，满足题意.
∴菜园的面积可能是$252m^{2}$，此时AB的长为14 m （2）设AB的长为x m，菜园的面积为$y m^{2}$.由题意，得$y = x(60 - 3x)= -3x^{2}+60x = -3(x - 10)^{2}+300$，
∵$-3 ＜ 0$，
∴当$x ＜ 10$时，y随x的增大而增大.
∵$0 ＜ 60 - 3x ≤ 39$，$x ≤ 8$，
∴$7 ≤ x ≤ 8$.
∴当$x = 8$时，y取最大值，为288.
∴该菜园的最大面积为$288m^{2}$