《2025年通城学典课时作业本九年级数学全一册浙教版》

相似三角形的周长和面积有以下性质:相似三角形的周长之比等于相似比;相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

答案： 相似比　相似比的平方

1. (2024·重庆 A 卷)若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积之比为(D)
A.1:3
B.1:4
C.1:6
D.1:9

答案： D

2. 若△ABC∽△DEF,且面积之比为9:4,则它们的对应高线长的比为(A)
A.3:2
B.2:3
C.9:4
D.4:9

答案： 【解析】：
本题主要考察相似三角形的性质，特别是相似三角形的面积比与对应边长（包括高线）比的关系。
根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于它们对应边长之比的平方。
设相似三角形$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup DEF$的对应边长之比为$k$，则它们的面积之比为$k^2$。
题目给出面积之比为$9:4$，即$k^2 = \frac{9}{4}$。
解这个方程，我们得到$k = \frac{3}{2}$（负值舍去，因为边长不能为负）。
由于高线也是三角形的一边，所以对应高线的比也等于$k$，即$3:2$。
【答案】：
A

3. 已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30 和15,且FH= 6,则EA 的长为(B)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B

4. 如图,在□ABCD 中,F 为BC 的中点,延长AD 至点E,使DE:AD= 1:3,连结EF 交CD 于点G,则S△DEG:S△CFG 等于(D)
A.2:3
B.3:2
C.9:4
D.4:9

答案： D

5. (2024·辽宁)如图,AB//CD,AD 与BC 相交于点O,且△AOB 与△DOC 的面积之比为1:4.若AB= 6,则CD 的长为12.

答案： 12

6. (2024·云南)如图,AB 与CD 交于点O,且AC//BD.若$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}= \frac{1}{2}$,则$\frac{AC}{BD}= $$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

7. (2024·乐山)如图,在梯形ABCD 中,AD//BC,对角线AC 和BD 交于点O.若$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}= \frac{1}{3}$,则$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}}=$$\frac{1}{9}$.

答案： $\frac{1}{9}$

8. 如图,把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置,它们重叠部分(即图中涂色部分)的面积是△ABC 的面积的一半.若$AB= \sqrt{2}$,则AA'的长为$\sqrt{2}-1$.

答案： $\sqrt{2}-1$

9. 如图,在△ABC 和△DEC 中,∠A= ∠D,∠BCE= ∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC;
(2)若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}= 4:9$,$BC= 6$,求EC的长.

答案： （1）$\because \angle BCE=\angle ACD$,$\therefore \angle BCE+\angle ACE=\angle ACD+\angle ACE$,即$\angle ACB=\angle DCE$.又$\because \angle A=\angle D$,$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEC$ （2）$\because \triangle ABC\backsim \triangle DEC$,$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=\left( \frac{BC}{EC} \right)^{2}$.$\because S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$,即$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=\frac{4}{9}$,$\therefore \frac{BC}{EC}=\frac{2}{3}$.$\because BC=6$,$\therefore EC=9$