《2025年暑假乐园现代教育出版社七年级数学人教版》

1. 我们知道无限不循环小数是无理数，无限循环小数属于有理数，而有理数不是整数就是分数，所以无限循环小数都可以化为分数. 例如$0.\dot {6}$，设$x=0.\dot {6}$①，则$10x=6.\dot {6}$②. 由②-①得$9x=6$，所以$x=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}$，即$0.\dot {6}=\frac {2}{3}$.
请你仿照上述方法，判断$0.\dot {1}0\dot {7}$是不是有理数. 若是的话，将它转化成分数.
设$x = 0.\dot{1}0\dot{7}$①，则$1000x = 107.\dot{1}0\dot{7}$②。由② - ①得$999x = 107$，所以$x = \frac{107}{999}$，即$0.\dot{1}0\dot{7} = \frac{107}{999}$，所以$0.\dot{1}0\dot{7}$是有理数，化为分数是$\frac{107}{999}$。

答案： 设$x = 0.\dot{1}0\dot{7}$①，则$1000x = 107.\dot{1}0\dot{7}$②。由② - ①得$999x = 107$，所以$x = \frac{107}{999}$，即$0.\dot{1}0\dot{7} = \frac{107}{999}$，所以$0.\dot{1}0\dot{7}$是有理数，化为分数是$\frac{107}{999}$。

2. 有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程.
(1)【解题与归纳】①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空.
$\sqrt {2^{2}}=$2；$\sqrt {5^{2}}=$5；$\sqrt {6^{2}}=$6；$\sqrt {0^{2}}=$0；$\sqrt {(-3)^{2}}=$3；$\sqrt {(-6)^{2}}=$6.
归纳：对于任意数a，有$\sqrt {a^{2}}=$$\vert a\vert$.
②小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空.
$(\sqrt {4})^{2}=$4；$(\sqrt {9})^{2}=$9；$(\sqrt {25})^{2}=$25；$(\sqrt {36})^{2}=$36；$(\sqrt {49})^{2}=$49；$(\sqrt {0})^{2}=$0.
归纳：对于任意非负数a，有$(\sqrt {a})^{2}=$a.
(2)【应用】根据他们归纳得出的结论，解答问题：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简$\sqrt {a^{2}}-\sqrt {b^{2}}+\sqrt {(a-b)^{2}}-(\sqrt {b-a})^{2}$.
-a - b

答案： 1. ①$\sqrt {2^{2}} = 2$；$\sqrt {5^{2}} = 5$；$\sqrt {6^{2}} = 6$；$\sqrt {0^{2}} = 0$；$\sqrt {(-3)^{2}} = 3$；$\sqrt {(-6)^{2}} = 6$。归纳：对于任意数$a$，有$\sqrt {a^{2}}=\vert a\vert$。
②$(\sqrt {4})^{2} = 4$；$(\sqrt {9})^{2} = 9$；$(\sqrt {25})^{2} = 25$；$(\sqrt {36})^{2} = 36$；$(\sqrt {49})^{2} = 49$；$(\sqrt {0})^{2} = 0$。归纳：对于任意非负数$a$，有$(\sqrt {a})^{2}=a$。
2. 由数轴可知$a\lt0$，$b\gt0$，$a - b\lt0$，$b - a\gt0$。\n根据$\sqrt {a^{2}}=\vert a\vert$，$\sqrt {b^{2}}=\vert b\vert$，$\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a - b\vert$，$(\sqrt {b - a})^{2}=b - a$。\n则$\sqrt {a^{2}}-\sqrt {b^{2}}+\sqrt {(a - b)^{2}}-(\sqrt {b - a})^{2}=\vert a\vert-\vert b\vert+\vert a - b\vert-(b - a)$。\n因为$a\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$；因为$b\gt0$，所以$\vert b\vert = b$；因为$a - b\lt0$，所以$\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$。\n原式$=-a - b+(b - a)-(b - a)=-a - b + b - a - b + a=-a - b$。