《2025年暑假乐园现代教育出版社七年级数学人教版》

1.关于x的不等式4(x+2) −2＞5+3a的解都能使不等式$\frac{(3a + 1)x}{3} ＞ \frac{a(2x + 3)}{2}$成立，求α的取值范围.

答案： 解：解不等式$4(x + 2) - 2 ＞ 5 + 3a$，得$x ＞ \frac{3a - 1}{4}$；
解不等式$\frac{(3a + 1)x}{3} ＞ \frac{a(2x + 3)}{2}$，得$x ＞ \frac{9a}{2}$。
由题意，得$\frac{3a - 1}{4} \geq \frac{9a}{2}$，解得$a \leq - \frac{1}{15}$。

2.解不等式(2x+1) (3x−2) ＞0时，根据有理数乘法法则“两数相乘，同号得
正"，有
①$\begin{cases}2x + 1 ＞ 0, \\ 3x - 2 ＞ 0\end{cases}$或②$\begin{cases}2x + 1 ＜ 0, \\ 3x - 2 ＜ 0\end{cases}$
解不等式组①，得x＞$\frac{2}{3}$;解不等式组②，得x＜−$\frac{1}{2}$.
则不等式(2x+1)(3x−2) ＞0的解集为x＞$\frac{2}{3}$或x＜−$\frac{1}{2}$.
(1)请参照上例，试解不等式(2x−1)(x+2)＜0;
(2)请参照上例，试解不等式$\frac{5x+1}{2x−3}$＞0.

答案： 解：（1）根据题意，得①$\left\{\begin{array}{l}2x - 1 ＞ 0,\\x + 2 ＜ 0\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}2x - 1 ＜ 0,\\x + 2 ＞ 0\end{array}\right.$。
不等式组①无解；
解不等式组②，得$- 2 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$。
所以不等式$(2x - 1)(x + 2) ＜ 0$的解集为$- 2 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$。
（2）根据题意，得①$\left\{\begin{array}{l}5x + 1 ＞ 0,\\2x - 3 ＞ 0\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}5x + 1 ＜ 0,\\2x - 3 ＜ 0\end{array}\right.$。
解不等式组①，得$x ＞ \frac{3}{2}$；
解不等式组②，得$x ＜ - \frac{1}{5}$。
所以不等式$\frac{5x + 1}{2x - 3} ＞ 0$的解集为$x ＞ \frac{3}{2}$或$x ＜ - \frac{1}{5}$。