《2025年假期面对面南方出版社七年级数学沪科版》

17. (6分)计算:
(1)$(x-1)(x^{2}+x+1);$
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1);$
(3)$(-a^{2}b)^{3}+(2a^{7}b^{4}+ab)÷ab.$

答案： 解：
(1) 原式 $=x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 = x^{3} - 1$.
(2) 原式 $=x^{2} - 2x + 3x - 6 - x^{2} + x = 2x - 6$.
(3) 原式 $=-a^{6}b^{3} + 2a^{6}b^{3} + 1 = a^{6}b^{3} + 1$.

18. (8分)先阅读下列材料:
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法,有提公因式法和公式法,其实分解因式的方法还有拆项或添项分组法等.
拆项或添项分组法:将一个多项式的某一项拆成两项或添加系数互为相反数的两项后,再分组,可利用提公因式法和公式法继续分解的方法.如:
$x^{2}+2x-3$
$=x^{2}+2x+1-4$
$=(x+1)^{2}-2^{2}$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1).$
仿照以上方法,把下列多项式分解因式:
(1)$x^{4}-2x^{3}-8x^{2}=$$x^{2}(x+2)(x-4)$;
(2)$4a^{2}+4ab-3b^{2}=$$(2a+3b)(2a-b)$;
(3)$4a^{4}+1=$$(2a^{2}+2a+1)(2a^{2}-2a+1)$.

答案： 解：
(1) $x^{4} - 8x^{2} = x^{2}(x^{2} - 2x - 8) = x^{2}[(x^{2} - 2x + 1) - 9] = x^{2}[(x - 1)^{2} - 3^{2}] = x^{2}(x - 1 + 3)(x - 1 - 3) = x^{2}(x + 2)(x - 4)$.
(2) $4a^{2} + 4ab - 3b^{2} = 4a^{2} + 4ab + b^{2} - 4b^{2} = (2a + b)^{2} - (2b)^{2} = (2a + b + 2b)(2a + b - 2b) = (2a + 3b)(2a - b)$.
(3) $4a^{4} + 1 = 4a^{4} + 4a^{2} + 1 - 4a^{2} = (2a^{2} + 1)^{2} - (2a)^{2} = (2a^{2} + 2a + 1)(2a^{2} - 2a + 1)$.

19. (6分)已知$(x^{2}+mx-3)(2x+n)$的展开式中不含x的一次项,常数项是-6.
(1)求m,n的值;
(2)求$(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})$的值.

答案： 解：
(1) 原式 $=2x^{3} + nx^{2} + 2mx^{2} + mnx - 6x - 3n = 2x^{3} + (n + 2m)x^{2} + (mn - 6)x - 3n$. 由题意，得 $mn - 6 = 0$，$-3n = -6$，解得 $m = 3$，$n = 2$.
(2) 原式 $=m^{3} - m^{2}n + mn^{2} + m^{2}n - mn^{2} + n^{3} = m^{3} + n^{3}$. 当 $m = 3$，$n = 2$ 时，原式 $=3^{3} + 2^{3} = 35$.

20. (8分)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)探究:上述操作能验证的等式是____$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$;
(请选择正确的一个)
A. $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
B. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
C. $a^{2}+ab=a(a+b)$
(2)应用:利用你从(1)中选出的等式,完成下列各题:
①已知$9x^{2}-4y^{2}=24,3x+2y=6$,求$3x-2y$的值;4
②计算:$(1-\frac {1}{2^{2}})(1-\frac {1}{3^{2}})(1-\frac {1}{4^{2}})... (1-\frac {1}{9^{2}})(1-\frac {1}{10^{2}})$.$\frac{11}{20}$

答案： 解：
(1) B
(2) ① 因为 $9x^{2} - 4y^{2} = (3x + 2y)(3x - 2y)$，所以 $24 = 6(3x - 2y)$，所以 $3x - 2y = 4$. ② 原式 $=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4}) \cdots (1 - \frac{1}{9})(1 + \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{10})(1 + \frac{1}{10}) = \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{8}{9}×\frac{10}{9}×\frac{9}{10}×\frac{11}{10} = \frac{1}{2}×\frac{11}{10} = \frac{11}{20}$.